Afgeleide

Skyliner

Nog eventjes en dan is het examen. Heb er amper de tijd voor gehad maar ik probeer afgeleiden te begrijpen.

Ik heb er altijd mee kunnen werken, f(x) = x^3 . x^2 . 3x, dus f'(x) = 3x^2 . 2x . 3

Oke de rekenregels begrijp ik wel. Maar ik heb nooit echt de theorie erachter begrepen. Nu heb ik gelezen dat je het concept van een afgeleide kan vergelijken met een appel die uit de boom valt. Stel je wilt hier de snelheid van berekenen, v = x/t in m/s. Als je dat doet bekom je in feite de gemiddelde snelheid, want de appel zal in het begin van de val wellicht minder snel vallen dan een paar meter lager. Je pakt daarom een kleiner interval en meet hiervan de snelheid. Maar dat is òòk een gemiddelde snelheid, nu van het kleiner tijdsinterval. Een ogenblikkelijke graad van verandering is dus niets minder dan de gemiddelde graad van verandering over een oneindig klein tijdsinterval. Dit is wat de afgeleide ook zegt, je berekent in feite een verandering over een willekeurig klein interval.

tot zover begrijp ik de theorie. Dan gaan ze dit toepassen op functies en zeggen ze dat de afgeleide van een functie de rico van de raaklijn is in (a, f(a)). Ik kom er niet uit, ik heb een grafiek voor mij waar een parabool op staat en een rechte die tegen de parabool aanligt. dit is respectievelijk x^2 en 2x-1

Kan iemand mij uitleggen wat het concept van een afgeleide is op toepassing van functies met raaklijnen? waarschijnlijk bekijk ik het gewoon verkeerd. de bijhorende limiet: lim h->a : f(a + h) - f(a) / h is ook iets dat er mee in verband moet gebracht worden, ik heb het altijd aangenomen, maar echter nooit over nagedacht.

iemand? bedankt voor de feedback alvast

Strobo

De functie van de eerste afgeleide is te zien of de functie stijgt of daalt.

Is je eerste afgeleide positief dan stijgt je functie, is je eerste afgeleide negatief dan daalt je functie.

Skyliner

Ja, dat heb ik altijd zo aangenomen. als je verder afleidt, vind je nog buigpunten enzovoort.

Maar het is dit keer belangrijk echt het waarom te begrijpen. er staat: we kunnen de afgeleide ook meetkundig betekenis geven: gegeven functies f(x) = x^2, g(x) = 3x - 2 , en h(x) = 2x - 1

de eerste rechte g(x) heeft de meest steile hellingsgraad, en gaat door punten ( 1,1) en (2,4)

de tweede rechte h(x) wordt gevonden door het punt (2,4) langs de grafiek te verschuiven tot het oneindig dicht bij (1,1) ligt. de rico van de rechte zou precies gelijk zijn aan de afgeleide in x = 1

m.a.w. de afgeleide f'(a) in een punt 'a' (element van I), kan gezien worden als de rico van de raaklijn aan de grafiek f(x) in het punt (a, f(a)). dit verklaart meteen ook waarom de afgeleide in 'a' iets leert over de manier waarop de functiewaarden zullen veranderen als we dicht genoeg bij a blijven.

ik kan dit moeilijk voor de geest halen. ik zie niet echt wat men hier wil aantonen!

Strobo

Wat je doet is je neemt een rechte door twee punten die op je grafiek liggen.

In dit geval (1,1) en (2,4). Uit je opgave zie ik dat je de afgeleide in (1,1) zoekt.

En zoals je zegt laat je het punt (2,4) naderen naar het punt (1,1).

Dus je maakt eigenlijk een ongelofelijk klein interval van twee punten waardoor je de rechte trekt.

En wat ze bedoelen met dat veranderen is wat ik daarnet zei, positief --> stijgen, negatief --> dalen.

Skyliner

Mja, ik denk dat ik het wel min of meer begrijp, maar dan nog snap ik het verband niet tussen een bewerking en het concept.

je hebt een afgeleide van een functie f(x) = x^2 +x, dus 2x + 1

wat heb je dan juist gedaan? wat stelt die 2x + 1 voor? een functie, ja, maar waarom doe je die omrekening? er moet toch een reden zijn. Van wanneer kan je zeggen dat een functie afleidbaar is bvb?

ik zie het niet :s , sorry voor de nogal vage vragen, maar ik kan het niet beter verwoorden

*** je had al geantwoord vooraleer ik iets postte, bedankt, ik begrijp het eerste stuk al beter nu ](*,)

Safe

Ik heb er altijd mee kunnen werken, f(x) = x^3 . x^2 . 3x, dus f'(x) = 3x^2 . 2x . 3

Staan er maal-tekens of +tekens? In het eerste geval is dit natuurlijk fout.

Skyliner

Ik bedoelde inderdaad plustekens, geen maaltekens!

Safe

Ok, en heb je door dat je afgeleide functie iets zegt over stijgen en dalen van de grafiek van de functie?

Begrijp je waarom de afgeleide functie in een gegeven punt de rc (rico) is van de raaklijn aan de grafiek in dat punt?

Dit is de meetkundige betekenis van de afgeleide functie.

Skyliner

Ja, nu is het me wel helder. Ik denk dat je alles heel lokaal moet zien, als je oneindig zou inzoomen op een stuk grafiek, 'lijkt' het wel een rechte. Dus in dat opzicht begrijp ik dat een afgeleide dan aangeeft of een functie stijgt of daalt. Als je al die intervallen bijeen zou nemen zie je een verloop van de grafiek. de eerste afgeleide illustreert dit verloop inderdaad, positief of negatief, resp. stijgend of dalend

In een gegeven punt, waar de raaklijn de grafiek 'raakt' is de afgeleide eigenlijk dus gelijk aan de rico van de raaklijn aan de grafiek in dat punt.

oke normaal moet het me nu wel duidelijk zijn!

Safe

Ken je ook de definitie van de afgeleide functie of moet je alleen de betekenis kennen?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Afgeleide

Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide

Re: Afgeleide