Taylorreeksen

biologiestudent

De vraag is: geef de taylorreeks met algemene term voor:

voor het oplossen van wortel (1-cosx) heb ik cosx herschreven tot cosx = 1-2sin²(x/2)

hiermee kan je dan, na omvorming, de taylorreeks van wortel(2)sin(x/2) makkelijk bepalen met de basistaylorreeks voor de sinus.

maar met het oplossen van wortel (1+sinx) zit ik vast

dus is mijn vraag, bestaat er zo ook een formule voor sinx? (net zoals je cosx = 1-2sin²(x/2) hebt)

mvg

EvilBro

De twee formules die je uit je hoofd moet kennen (vind ik...):

\(\cos(2 \cdot x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\)

\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)

De formule die je dan af kunt leiden:

\(\cos(2 \cdot x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) + 1 - 1 = \cos^2(x) - \sin^2(x) + \cos^2(x) + \sin^2(x) - 1 = 2 \cdot \cos^2(x) - 1\)

biologiestudent

Die formules ken ik.

Maar hiermee kan ik nog steeds de oefening niet oplossen ..

EvilBro

Je hebt helemaal gelijk. uhm... het is nog vroeg? ](*,)

EvilBro

Hier heb je meer aan (denk ik, maar gezien mijn vorige antwoord geef ik geen garanties ](*,) ):

\(\int \sqrt{1 + \sin(x)} dx = \int \sqrt{1 + \sin(x)} \frac{\sqrt{1 - \sin(x)}}{\sqrt{1 - \sin(x)}}dx = \int \frac{\sqrt{1 - \sin^2(x)}}{\sqrt{1 - \sin(x)}}dx = \int \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin(x)}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin(x)}}d(\sin(x))\)

biologiestudent

Ik vrees dat ik je moet teleurstellen

Taylorreeksen hebben absoluut niets te zien met integralen ..

de oefening die ik wel kon heb ik zo uitgewerkt:

wortel(1-cosx) = wortel (1-1+2sin²(x/2)) = wortel (2sin²(x/2)) = + of - wortel (2) . sin (x/2)

en de taylorreeks van de sinus = x/1! - x³/3!+ ..

dus is de taylorreeks van wortel (1-cosx) = wortel(2) . sin(x/2) = en dan vul je dit in in de taylorreeks van de sinus

mvg

EvilBro

Lezen is vandaag kennelijk moeilijk voor mij... aan de andere kant, waarom schrijf je dingen om voor een Taylorreeks? Je kunt ook gewoon de definitie van Taylorreeksen gebruiken om zo tot een oplossing te komen...

biologiestudent

Dat zou kunnen,

maar de vraag is om een opgave om te vormen zodanig dat je een bestaande taylorreeks kan aanpassen

(in dit geval dus een cosinus of sinus)

TD

Die halveringsformule om een kwadraat en een eentje te krijgen heb je alleen voor de cosinus, maar je kan de sinus wel eenvoudig omzetten in een cosinus. Gebruik dan de andere variant omdat je nu 1+... i.p.v. 1-... hebt:

\(\sin \left( x \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) - 1\)

biologiestudent

De uitkomst zou moeten zijn: +/- (sin (x/2) + cos(x/2))

ik kom er nog steeds niet met de door u gegeven formule ..

want als je die zou toepassen, zit je met een wortel (2) voor de haakjes ..

TD

De uitkomst zou moeten zijn: +/- (sin (x/2) + cos(x/2))

Hoezo, "zou moeten zijn"? Dat had je op voorhand niet gezegd; je zocht gewoon een manier om te herschrijven zodat je een standaard reeks kon gebruiken om de Taylorreeks op te stellen. Met mijn voorstel is het volgens mij zelfs wat eenvoudiger, je hebt dan maar één reeks nodig in plaats van de som van twee. Ze zijn gelijk aan elkaar.

biologiestudent

Ik heb de opgaven, en ik heb ook de antwoorden gekregen (geen bewerking hoe ik van het ene tot het andere raak)

dus is mijn vraag hoe ik wortel (1+sinx) omvorm tot +/- (sin (x/2) + cos(x/2))

(ervan uitgaande dat ik de oplossing eigenlijk niet weet..)

TD

Is het niet voldoende als je tot een goed antwoord komt? Dat kan met mijn eerder voorstel. Anders kan je zelf al eens proberen te tonen dat die twee uitdrukkingen gelijk zijn. Of, als je het antwoord toch al kent, daar proberen naar te werken.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Taylorreeksen

Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen

Re: Taylorreeksen