Goedendag,
Ik zit met een wiskundig probleempje waar ik niet uit kom. Om het eenvoudig te maken heb ik er een aards voorbeeldje van gemaakt:
Ik heb een plat stuk elastiek van een meter lang, dat aan de linkerkant vast zit aan de tafel.
Helemaal aan het begin, links bij de tafelrand dus laat ik een mier naar rechts lopen over zijn rubberen weg.
Zodra de mier begint te lopen, rek ik heel gelijkmatig het elastiek naar rechts uit.
De mier loopt 1 meter per uur.
Ik rek het elastiek ook 1 meter per uur op.
Na een uur heeft de mier 1 meter afgelegd over het elastiek zelf, dat nu dus twee meter lang is. Maar de mier is niet halverweg zoals je zou denken, want rechts van de mier rekt het elastiek ook, en de mier krijgt tov de tafelrand dus extra snelheid, want wordt meegevoerd met het elastiek. Ergo de mier gaat sneller dan 1 meter per uur naar rechts, en is dus na 1 uur verder dan 1 meter, en ook verder dan de helft van het elastiek (dat na een uur twee meter lang is).
Hoe lang doet de mier er over om rechts bij het einde van het almaar langer wordende elastiek aan te komen?
Hoe reken ik uit waar de mier op een bepaald moment tov van de tafelrand is?
Ik heb deze vraag aan 5 mensen gesteld, en kreeg 5 verschillende antwoorden. Ik vermoed dat alleen integraalrekenen het juiste antwoord kan geven, maar dat is bij mij al weer 40 jaar zo dood als een pier.
Wie kan mij helpen?
Bvd,
Uphoff
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Wie helpt mij
-
- Berichten: 5.679
Re: Wie helpt mij
Kijk eens naar de fractionele positie van de mier, dat wil zeggen een functie die in een getal tussen 0 en 1 uitdrukt waar de mier zich relatief op het elastiek bevindt (0=begin, 1=eind).
Daartoe kun je eerst de functie voor de fractionele snelheid bepalen, die is erg makkelijk. Het uitrekken van het elastiek heeft daar namelijk geen invloed op, door het uitrekken blijft de fractionele positie van de mier hetzelfde.
Kom je daar mee op weg?
Ter controle, de antwoorden zijn: hij bereikt het einde na , en de positie op tijd t is
Daartoe kun je eerst de functie voor de fractionele snelheid bepalen, die is erg makkelijk. Het uitrekken van het elastiek heeft daar namelijk geen invloed op, door het uitrekken blijft de fractionele positie van de mier hetzelfde.
Kom je daar mee op weg?
Ter controle, de antwoorden zijn: hij bereikt het einde na , en de positie op tijd t is
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.068
Re: Wie helpt mij
Een andere optie is om te kijken naar de snelheid van de mier t.o.v. de grond. Deze snelheid is namelijk de snelheid van de mier t.o.v. het elastiek plus de snelheid van het punt waar de mier op staat. Je krijgt dan een differentiaalvergelijking. Door deze op te lossen krijg je een beschrijving van de positie van de mier.
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: Wie helpt mij
Dag allemaal,
Dank jullie voor de gegeven input. Mijn wiskunde is erg beperkt en ik begrijp nog iets niet.
Maar eerst even ter verificatie de De JanBoerenFluitjes methode die ik heb toegepast; het probleempje ophakken in 10 discrete stapjes:
De mier maakt een pas van 10 cm (en doet over die stap zelf 0 seconden). Vervolgens wacht de mier 6 minuten (het elastiek rekt in die tijd 10% op). Dan neemt de mier de tweede stap van 10 cm (het is de zeer zeldzame Zimbabwaanse langpootmier..) en wacht weer 6 minuten tot, enzovoort.
Direct na stap 1 is de afgelegde afstand tov van de tafel 10 cm. In de 6 minuten pauze rekt het elastiek 10% op, dus de afstand van de mier tot de tafel neem ook met 10% toe, de mier is vlak voor stap 2 dus op 11 cm van de tafel.
Direct na stap 2 is de afgelegde afstand tov van de tafel 11+10 cm = 21 cm. In de 6 minuten pauze rekt het elastiek weer 10% op, dus de afstand van de mier tot de tafel neem ook met 10% toe, er komt dus 2,1 cm bij zodat de mier op 23,1 cm afstand is. Enzovoort tm stap 10:
0 0,00
10 11,00
20 23,10
30 36,41
40 51,05
50 67,16
60 84,87
70 104,36
80 125,79
90 149,37
100 175,31
Na 10 stappen de ingelaste 10 pauzes van 6 minuten is de mier dus op ongeveer 175 cm van de tafelrand en heeft dan nog ongeveer 25 cm te gaan. Ik heb een erg grove benadering van 10 stappen gebruikt, en de afgelegde afstand is dus ruwweg. Als ik hetzelfde (excel, dank..) doe met 100 stapjes, is de uitkomst 172.19 cm. Neem ik 1000 stapjes dan wordt de afgelegde afstand 171,86 cm, en bij 10.000 stapjes 171,83 cm. Dit laatste is gezien het kleine verschil met 1000 stapjes redelijk nauwkeurig.
Het getal dat ik zo vind komt nauwkeurig overeen met het antwoord van Rogier (≈ 1.71828 sec) maar bij mij is het de afgelegde weg en bij Rogier de tijd. Als ik verder de opgegeven formule toepas (t)=(1+t)·Log(1+t), komen er resultaten uit die m.i. niet kunnen.
Doe ik wat fout, of moet er toch wat aan de formule gesleuteld worden?
Mijn dank alvast
Dank jullie voor de gegeven input. Mijn wiskunde is erg beperkt en ik begrijp nog iets niet.
Maar eerst even ter verificatie de De JanBoerenFluitjes methode die ik heb toegepast; het probleempje ophakken in 10 discrete stapjes:
De mier maakt een pas van 10 cm (en doet over die stap zelf 0 seconden). Vervolgens wacht de mier 6 minuten (het elastiek rekt in die tijd 10% op). Dan neemt de mier de tweede stap van 10 cm (het is de zeer zeldzame Zimbabwaanse langpootmier..) en wacht weer 6 minuten tot, enzovoort.
Direct na stap 1 is de afgelegde afstand tov van de tafel 10 cm. In de 6 minuten pauze rekt het elastiek 10% op, dus de afstand van de mier tot de tafel neem ook met 10% toe, de mier is vlak voor stap 2 dus op 11 cm van de tafel.
Direct na stap 2 is de afgelegde afstand tov van de tafel 11+10 cm = 21 cm. In de 6 minuten pauze rekt het elastiek weer 10% op, dus de afstand van de mier tot de tafel neem ook met 10% toe, er komt dus 2,1 cm bij zodat de mier op 23,1 cm afstand is. Enzovoort tm stap 10:
0 0,00
10 11,00
20 23,10
30 36,41
40 51,05
50 67,16
60 84,87
70 104,36
80 125,79
90 149,37
100 175,31
Na 10 stappen de ingelaste 10 pauzes van 6 minuten is de mier dus op ongeveer 175 cm van de tafelrand en heeft dan nog ongeveer 25 cm te gaan. Ik heb een erg grove benadering van 10 stappen gebruikt, en de afgelegde afstand is dus ruwweg. Als ik hetzelfde (excel, dank..) doe met 100 stapjes, is de uitkomst 172.19 cm. Neem ik 1000 stapjes dan wordt de afgelegde afstand 171,86 cm, en bij 10.000 stapjes 171,83 cm. Dit laatste is gezien het kleine verschil met 1000 stapjes redelijk nauwkeurig.
Het getal dat ik zo vind komt nauwkeurig overeen met het antwoord van Rogier (≈ 1.71828 sec) maar bij mij is het de afgelegde weg en bij Rogier de tijd. Als ik verder de opgegeven formule toepas (t)=(1+t)·Log(1+t), komen er resultaten uit die m.i. niet kunnen.
Doe ik wat fout, of moet er toch wat aan de formule gesleuteld worden?
Mijn dank alvast
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: Wie helpt mij
Dag,
Nog even ter aanvulling: Volgens het spreadsheet is na pakweg 69 minuten de mier ongeveer 216 cm van de tafelrand af, en is het elastiek ongeveer 215 centimeter lang. Het zeldzame beestje kukelt dan eindelijk naar beneden.
Dat is een heel andere uitkomst..
Nog even ter aanvulling: Volgens het spreadsheet is na pakweg 69 minuten de mier ongeveer 216 cm van de tafelrand af, en is het elastiek ongeveer 215 centimeter lang. Het zeldzame beestje kukelt dan eindelijk naar beneden.
Dat is een heel andere uitkomst..
-
- Berichten: 7.068
Re: Wie helpt mij
Misschien zie je een verband met de snelheid?Het getal dat ik zo vind komt nauwkeurig overeen met het antwoord van Rogier (≈ 1.71828 sec) maar bij mij is het de afgelegde weg en bij Rogier de tijd.
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: Wie helpt mij
Hoi,
Is er nog iemand met een oplossing ipv. een wedervraag?
Is er nog iemand met een oplossing ipv. een wedervraag?
-
- Berichten: 5.679
Re: Wie helpt mij
De lengte van het elastiek is L(t)=1+t (met t in uren en L(t) in meters, dus het begint op t=0 met 1 meter en wordt per uur een meter langer).
De snelheid van de mier is ten opzichte van het elastiek is vE(t)=1 m/u.
De fractionele snelheid van de mier druk je uit in het aantal elastieklengtes per uur die hij aflegt, en die lengte is L(t), dus zijn fractionele snelheid is vF(t) = vE(t) / L(t) = 1/(1+t) Hz.
De fractionele positie van de mier is de integraal van de fractionele snelheid over de tijd:
(PS. in het antwoord wat ik hierboven had gegeven had de tijd natuurlijk zoveel uur i.p.v. sec moeten zijn)
De snelheid van de mier is ten opzichte van het elastiek is vE(t)=1 m/u.
De fractionele snelheid van de mier druk je uit in het aantal elastieklengtes per uur die hij aflegt, en die lengte is L(t), dus zijn fractionele snelheid is vF(t) = vE(t) / L(t) = 1/(1+t) Hz.
De fractionele positie van de mier is de integraal van de fractionele snelheid over de tijd:
\(P_F(t) = \int v_F(t)dt = \int\frac{1}{1+t}dt = \log(1+t)\)
De mier bereikt het einde van het elastiek wanneer PF(t)=1:\(P_F(t)=1 \Leftrightarrow \log(1+t)=1 \Leftrightarrow 1+t=e \Leftrightarrow t=e-1 \approx 1.71828\)
De positie van de mier ten opzichte van de tafelrand (waar hij begon) is de fractionele positie maal de lengte van het elastiek, dus: \(P(t)=L(t)\cdot P_F(t) = (1+t)\cdot\log(1+t)\)
.(PS. in het antwoord wat ik hierboven had gegeven had de tijd natuurlijk zoveel uur i.p.v. sec moeten zijn)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: Wie helpt mij
Dag Rogier,
Hartelijk dank voor de uitleg. Ik ga met jouw formule stoeien.
Hartelijk dank voor de uitleg. Ik ga met jouw formule stoeien.
