Springen naar inhoud

Feedback op bewijzen m.b.t. verzamelingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 juni 2010 - 18:45

Graag feedback op de volgende opgaven en mijn aanpak. Het is geen hele lastige wiskunde, maar mijn bewijstechnieken laten nogal te wensen over....

OPGAVE
Zij (P,B) een 2 − (v, k, λ) design met b = |B| blokken. We weten
dat dan ieder punt p ∈ P in r = bk/v blokken ligt. Definieer een lijn als de
doorsnede van alle blokken B ∈ B die een paar p, q van punten in P bevatten.
Bewijs de volgende beweringen:

(i) Ieder paar punten p, q ∈ P ligt op een unieke lijn.
(ii) Als een lijn L een blok B ∈ B in twee punten snijdt, dan is L ⊂ B.



(i) Uit de definitie van een t-design volgt hier dat ieder tweetal (t=2) punten in precies λ blokken is omvat. Dus voor een paar (p,q) zijn er λ blokken die het paar omvatten. Zeg B1, B2, ... , Bλ.
(p,q) ligt op de lijn Lpq = B1LaTeX B2LaTeX ...LaTeX Bλ.

De uniciteit van de lijn: Stel (p,q) ligt ook op een andere lijn zeg L2 dan is er volgens de definitie een paar (s,t) met L2 is de doorsnede van alle blokken die (s,t) omvatten, zeg L2=A1, A2, ... , Aλ. Omdat zowel (s,t) als (p,q) op deze lijn liggen geldt voor al deze blokken Ai dat {p,q} en {s,t} erin liggen. Er zijn &#955 blokken A1, A2, .... met {p,q} erin en &#955 blokken B1, B2,... met {p,q} erin. Maar er zijn er volgens de definitie totaal ook maar &#955 dus de A-blokken zijn hetzelfde als de B-blokken dus lijn Lpq=L2.

(ii)Zeg L bevat |L|=n punten dus L is de doorsnede van blokken die allen n punten overeenkomen, zeg {a1, a2,... ,an} en B bevat |B|=k punten. Dus als L B snijdt in twee punten zijn dit noodzakelijk ai en ak met i ongelijk j en i,j ∈ {1,2,....n}.

Maar vervolgens zie ik eigenlijk dat het niet hoeft te gelden dat L ⊂ B en dat was niet de bedoeling....

Theorie
t- (v, k, λ) design betekent:
Puntverzameling van grootte v
Blokgrootte= k
Voor iedere verzameling T van t punten geldt dat ze in precies λ blokken liggen.

Veranderd door Heidegger, 01 juni 2010 - 18:47


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.




0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures