Springen naar inhoud

Benaderingsformule of niet?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2010 - 10:23

Op dit moment zijn we in het geneeskundedeel bezig met wat formules, waar we niet helemaal uitkomen.

Het gaat om medicijnklaring uit bloed. Maar je kunt het ook op een andere manier uitleggen:
Stel, we hebben een vissenkom. Daarin zetten we een pompje die per tijdseenheid steeds een bepaalde hoeveelheid water zuivert. Stel we vervuilen het water met een willekeurige stof, waarna het water een concentratie van die stof krijgt van C(0). De pomp die we hebben haalt die stof volledig uit het water, en ondertussen komt er geen nieuwe stof bij (om het makkelijk te houden). Hoe kun je dan de concentratie op tijdstip t beschrijven?

Wij dachten:
Cl = de hoeveelheid water die de pomp van de stof ontdoet per tijdseenheid.
V = Volledige volume van de vissenkom.
C(t) = De concentratie op tijdstip t.
C(0) = De concentratie op tijdstip 0.

Hieruit volgt dan volgens ons:
LaTeX

Gezien LaTeX constant blijft, kunnen we dat ook als een constante schrijven. Namelijk k (eliminatie-constante): LaTeX .

Echter, als in werkelijkheid (ofwel: in de theorieboeken) wordt de formule LaTeX . Wanneer je k niet te groot maakt, kloppen deze formules aardig met elkaar. Dus dit doet bij mij het vermoeden rijzen dat de formules benaderingsformules zijn van elkaar.

Nu is onze vraag: wat is volgens jullie (wiskundigen) de juiste formule? En is LaTeX een bekende benaderingsformule van LaTeX ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 11:03

Je berekening is correct, en die andere formule ook. Ze zijn namelijk hetzelfde, alleen met een verschillende betekenis voor k.

Als ik jouw k even q noem (dus q=Cl/V), dan is jouw formule: LaTeX

Dat is gelijk aan LaTeX met LaTeX .
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

PhilipVoets

    PhilipVoets


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2010 - 11:21

Dat in dat geval zou gelden: k = -ln(1 - q) is inderdaad in te zien, maar het punt is dat volgens de theorie (Pharmacology van Rang & Dale o.a.) geldt q = k = Cl/Vd. Hier wringt de schoen een beetje aangezien het (voor mij althans) niet mogelijk bleek aan te tonen dat: e^(-t(Cl/V)) = (1 - Cl/V)^t. Hieruit volgt immers: q = -ln(1 - q) = ln(1/(1 - q)). Het probleem is kortom dat onze aannames en redeneringen wel te verdedigen zijn, maar niet stroken met de theorie zoals beschreven in de tekstboeken, tenzij op een of andere wijze q = -ln(1 - q) = ln(1/(1 - q)) zou blijken te kloppen, maar dat zie ik niet 1-2-3.

#4

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2010 - 13:16

Wij kwamen in het andere topic inderdaad ook op eem soortgelijk van LaTeX .
Het vervelende is echter dat in beide gevallen k voor hetzelfde staat.
Ofwel: LaTeX . In dit geval zoals PhilipVoets al aangeeft geldt LaTeX en zou dus LaTeX moeten gelden. Voor kleine getallen benadert dat elkaar ook wel aardig. Maar hoe groter die k wordt, hoe groter de afwijking.

In alle theorieboeken die ik gelezen heb, wordt voor het geheel de formule: LaTeX gebruikt. Waarbij geldt LaTeX .

Het logische gevolg zou dan dus ons inziens moeten zijn LaTeX , wat dus niet het geval is.

Veranderd door JWvdVeer, 08 juni 2010 - 13:21


#5

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 13:23

De formule die jullie opgesteld hebben, gaat er van uit dat er na 1 uur Cl water gezuiverd wordt, dat de pomp dan een uur stil staat, dan op t=2h de pomp weer Cl water zuivert, op t=3h weer,...
Dus de formule die je hebt opgesteld, stelt dat er tussen de uren niets gebeurt.

Dit is geldig bv voor rente die na elk jaar berekend wordt, maar volgens mij niet voor continue processen.
Wat je hier moet doen is een differentiaalvergelijking opstellen:
LaTeX

Misschien kan een voorbeeldje helpen.
Stel dat de pompsnelheid zo is dat de concentratie elk uur halveert.
Het is eenvoudig om in te zien dat LaTeX .

Stel je nu een formule op op dezelfde manier als die van jullie:
LaTeX

Je ziet dus dat de snelheid die je in de tweede formule moet invullen (=0.5), niet gelijk is aan de snelheid in de eerste formule (=ln(2))
De pompsnelheid die je nodig hebt voor een continu proces, is niet dezelfde als die voor een discreet proces.

Dit is ook te verduidelijken als volgt: Stel je hebt een discreet proces; elke uur wordt de helft van het water gezuiverd:
t =  0   1   2	3	4
C=  32  16   8	4	2
Stel je hebt nu hetzelfde proces, maar je zuivert nu elk half uur een kwart van het water:
t =  0  0.5   1   1.5	  2
C=  32  24   18   13.5  10.125

Je ziet dus, dat hoewel de zuiversnelheid nog steeds de helft per uur is, er toch een verschil optreedt. Als je steeds kleinere tijdstappen neemt, zul je dus een betere benadering krijgen van de werkelijkheid.

Dit is eenvoudig te verklaren: Als je in een discreet proces 1000 liter zuivert, dan heb je C_0*1000l gezuiverd.
Maar als je dit in een continu proces doet, dan neemt de concentratie voortdurend af, met andere woorden in het tweede half uur zuiver je minder dan in het eerste half uur. Hetzelfde voor de tweede minuut in vergelijking met de eerste minuut.
Wil je in dit continu proces evenveel zuiveren als in het discrete, dan zul je meer moeten pompen dan 1000l/h.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#6

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juni 2010 - 13:38

Er vanuitgande dat je bedoelt: LaTeX kan ik dit heel goed inzien.

De formule die jullie opgesteld hebben, gaat er van uit dat er na 1 uur Cl water gezuiverd wordt, dat de pomp dan een uur stil staat, dan op t=2h de pomp weer Cl water zuivert, op t=3h weer,...

Dat snap ik even niet. Wij gaan er vanuit dat wij de hele tijd doorzuiveren, maar dat de output van je pomp direct weer mengt met de rest van vissenkom.
Je zou best gelijk kunnen hebben dat onze formule niet in onze situatie past, maar ik zie even niet in waarom niet, tot mijn spijt.

Je ziet dus, dat hoewel de zuiversnelheid nog steeds de helft per uur is, er toch een verschil optreedt. Als je steeds kleinere tijdstappen neemt, zul je dus een betere benadering krijgen van de werkelijkheid.

Dit begin ik beter te snappen. Alleen snap ik nog steeds niet helemaal waarom. Ik snap je getallenvoorbeeld wel, maar niet waarom je dat niet met een formule als die van ons zou kunnen en mogen beschrijven. Wat zou er bijv. anders moeten zijn aan onze formule?

Heb je mss een iets duidelijke uitleg of een artikel die het vrij duidelijk uitlegt?

In elk geval tot op heden veel dank voor je poging. Je getallenvoorbeeld is in elk geval duidelijk.

#7

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 13:55

Er vanuitgande dat je bedoelt: Bericht bekijken

Dat snap ik even niet. Wij gaan er vanuit dat wij de hele tijd doorzuiveren, maar dat de output van je pomp direct weer mengt met de rest van vissenkom.
Je zou best gelijk kunnen hebben dat onze formule niet in onze situatie past, maar ik zie even niet in waarom niet, tot mijn spijt.


Wat jullie zeggen is:
De pompsnelheid is A l/h, de concentratie is C, en het volume is V
Dus de afname in concentratie per tijdseenheid is C*A/V
In deze formule ga je er dus (onbewust) van uit dat gedurende een hele tijdseenheid de concentratie C blijft.
Maar de concentratie neemt voortdurend af; je zult dus een integraal moeten uitvoeren, wat overeenkomt met die differentiaalvergelijking die ik gegeven heb op te lossen.

Net alsof je het volgend probleem zou oplossen als volgt:
Massa met beginsnelheid 1m/s, vesnelling 1m/sē. Wat is de afgelegde afstand?
x(1)=0+1m/s*1s=1m
v(1)=1m/s+1m/sē*1s=2m/s

x(2)=x(1)+v(1)*1s=3m
v(2)=v(1)+1m/s*1s=3m/s
....

Je ziet dat dit uiteraard niet klopt, omdat de snelheid continu toeneemt, en niet trapsgewijs.
De benadering wordt wel beter naarmate je kleinere tijdsstappen neemt.
Net hetzelfde met de concentratie in jouw voorbeeld.

Veranderd door ZVdP, 08 juni 2010 - 13:56

"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 14:12

het punt is dat volgens de theorie (Pharmacology van Rang & Dale o.a.) geldt q = k = Cl/Vd.

Dan is die theorie fout (doch waarschijnlijk is het gewoon een kwestie van dat er ergens iets te stug aan bepaalde constante-definities wordt vastgehouden zonder op de context te letten).

Met de parameters die JWvdVeer bovenaan gaf is LaTeX correct, en iets anders niet.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 14:17

Wat jullie zeggen is:
De pompsnelheid is A l/h, de concentratie is C, en het volume is V
Dus de afname in concentratie per tijdseenheid is C*A/V
In deze formule ga je er dus (onbewust) van uit dat gedurende een hele tijdseenheid de concentratie C blijft.

Nee pas op, hou in de gaten wat hier constantes zijn en wat er verandert met de tijd: C in dit geval - sterker nog, het bepalen van de functie C(t) was waar deze hele vraag om draaide.

De pompsnelheid is A l/s, het volume is V l, dus de afname in concentratie is een factor A/V Hz.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 14:17

Met de parameters die JWvdVeer bovenaan gaf is LaTeX

correct, en iets anders niet.


Volgens mij wordt de oplossing gegeven door:
LaTeX
LaTeX

Of zie ik dat verkeerd?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#11

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 14:57

Allez, nog een poging om mezelf duidelijk te maken:

LaTeX
LaTeX

Dit is volgens mij al niet correct.
Je zegt hierdoor eigenlijk:
Op 1 uur wordt er Cl liter gezuiverd, dus de hoeveelheid van de stof die gezuiverd wordt is C0Cl
Dus LaTeX

Maar, de stelling dat er op 1 uur C0Cl van de stof uit het water gehaald wordt, is niet correct.
Aangezien tijdens dit uur de concentratie niet C0 blijft, zal de pomp dus niet evenveel zuiveren op het einde als in het begin.
Alhoewel er Cl liter door de pomp gepasseerd is, was de concentratie van al dit water niet C0.

Vandaar dat je het moet herschrijven met een integraal:
LaTeX
Afleiden hiervan geeft mijn differentiaalvergelijking.

Maar wat jullie stellen is:
LaTeX
LaTeX
enz...
Alsof de concentratie gedurende een tijdsperiode onafhankelijk is van t.

Ik hoop dat ik het hiermee wat duidelijker heb kunnen uitleggen.

Veranderd door ZVdP, 08 juni 2010 - 14:58

"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 juni 2010 - 16:34

Ik doe dan ook nog wel een duit in het zakje...

Op een bepaald ogenblik is de hoeveelheid van de verontreiniging in het totale volume LaTeX . We gaan nu een heel klein beetje in de toekomst. We halen daarom een klein volume water uit het totale volume en stoppen dan eenzelfde hoeveelheid schoon water terug. In het verwijderde volume zit de volgende hoeveelheid verontreiniging:
LaTeX
in woorden: de concentratie maal het verwijderde volume. Dus:
LaTeX
We weten hoeveel volume er met het pompje verwijderd wordt per tijdseenheid:
LaTeX
We kunnen nu afleiden:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Neem de limiet van delta t naar nul om de differentiaalvergelijking te vinden:
LaTeX
We willen alleen niet de totale hoeveelheid verontreiniging maar de concentratie. We weten dat geldt:
LaTeX
Dit kunnen we substitueren in de differentiaalvergelijking:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Algemene oplossing is dus:
LaTeX

#13

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2010 - 09:42

@Evilbro:
Je algemene oplossing:
LaTeX
Is een constante en blijft altijd gelijk. LaTeX blijft namelijk gelijk (het volume van de vissenkom en de pompsnelheid van het pompje). Ik neem dus aan dat er ergens een t vergeten is.

Ik begin overigens het hele geheel te snappen nu ik die differentiaalvergelijkingen zie e.d.

De differentiaalvergelijking:
LaTeX
Komt ook terug in mijn theorieboek (Farmacologie, Sitsen et al., p.42), als LaTeX . Wat mij betreft ben ik daarin dus volledig overtuigd.

Maar als ik het voorgaande ook goed begrijp: Stel dat ik de klaring in volume/seconde uit zou drukken, dan zou onze verzonnen formule een stuk beter benaderen dan wanneer ik volume/uur uit druk? (met uiteraard een t die in overeenkomstige eenheid is uitgedrukt).
Dus m.a.w.: als ik k klein is, dan is de benadering beter?

Veranderd door JWvdVeer, 09 juni 2010 - 09:44


#14

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2010 - 09:50

Maar als ik het voorgaande ook goed begrijp: Stel dat ik de klaring in volume/seconde uit zou drukken, dan zou onze verzonnen formule een stuk beter benaderen dan wanneer ik volume/uur uit druk? (met uiteraard een t die in overeenkomstige eenheid is uitgedrukt).
Dus m.a.w.: als ik k klein is, dan is de benadering beter?

Inderdaad, je maakt eigenlijk een Riemannsom van de integraal; des te kleiner de stap, des te nauwkeuriger het antwoord.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2010 - 09:50

Ik neem dus aan dat er ergens een t vergeten is.

Klopt... slordigheidje...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures