Benaderingsformule of niet?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 08-06-'10, 11:23

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Benaderingsformule of niet?

Op dit moment zijn we in het geneeskundedeel bezig met wat formules, waar we niet helemaal uitkomen.

Het gaat om medicijnklaring uit bloed. Maar je kunt het ook op een andere manier uitleggen:

Stel, we hebben een vissenkom. Daarin zetten we een pompje die per tijdseenheid steeds een bepaalde hoeveelheid water zuivert. Stel we vervuilen het water met een willekeurige stof, waarna het water een concentratie van die stof krijgt van C(0). De pomp die we hebben haalt die stof volledig uit het water, en ondertussen komt er geen nieuwe stof bij (om het makkelijk te houden). Hoe kun je dan de concentratie op tijdstip t beschrijven?

Wij dachten:

Cl = de hoeveelheid water die de pomp van de stof ontdoet per tijdseenheid.

V = Volledige volume van de vissenkom.

C(t) = De concentratie op tijdstip t.

C(0) = De concentratie op tijdstip 0.

Hieruit volgt dan volgens ons:
\(C(t)=C(0)(1 - \frac{Cl}{V})^t\)
Gezien
\(\frac{Cl}{V}\)
constant blijft, kunnen we dat ook als een constante schrijven. Namelijk k (eliminatie-constante):
\(C(t) = C(0)(1 - k)^t\)
.

Echter, als in werkelijkheid (ofwel: in de theorieboeken) wordt de formule
\(C(t) = C(0)e^{-kt}\)
. Wanneer je k niet te groot maakt, kloppen deze formules aardig met elkaar. Dus dit doet bij mij het vermoeden rijzen dat de formules benaderingsformules zijn van elkaar.

Nu is onze vraag: wat is volgens jullie (wiskundigen) de juiste formule? En is
\((1 - k)^t\)
een bekende benaderingsformule van
\(e^{-kt}\)
?
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 12:03

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Benaderingsformule of niet?

Je berekening is correct, en die andere formule ook. Ze zijn namelijk hetzelfde, alleen met een verschillende betekenis voor k.

Als ik jouw k even q noem (dus q=Cl/V), dan is jouw formule:
\(C(t)=C(0) (1-q)^t\)
Dat is gelijk aan
\(C(t)=C(0) e^{-kt}\)
met
\(k=-\log(1-q)\)
.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 12:21

PhilipVoets

Berichten: 303

Re: Benaderingsformule of niet?

Dat in dat geval zou gelden: k = -ln(1 - q) is inderdaad in te zien, maar het punt is dat volgens de theorie (Pharmacology van Rang & Dale o.a.) geldt q = k = Cl/Vd. Hier wringt de schoen een beetje aangezien het (voor mij althans) niet mogelijk bleek aan te tonen dat: e^(-t(Cl/V)) = (1 - Cl/V)^t. Hieruit volgt immers: q = -ln(1 - q) = ln(1/(1 - q)). Het probleem is kortom dat onze aannames en redeneringen wel te verdedigen zijn, maar niet stroken met de theorie zoals beschreven in de tekstboeken, tenzij op een of andere wijze q = -ln(1 - q) = ln(1/(1 - q)) zou blijken te kloppen, maar dat zie ik niet 1-2-3.
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 14:16

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Benaderingsformule of niet?

Wij kwamen in het andere topic inderdaad ook op eem soortgelijk van
\(k=-\log(1-q)\)
.

Het vervelende is echter dat in beide gevallen k voor hetzelfde staat.

Ofwel:
\(k_e = \frac{Cl}{V_d} = \frac{\ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}}\)
. In dit geval zoals PhilipVoets al aangeeft geldt
\(k = q = \frac{Cl}{V_d}\)
en zou dus
\(k=-\log(1-k)\)
moeten gelden. Voor kleine getallen benadert dat elkaar ook wel aardig. Maar hoe groter die k wordt, hoe groter de afwijking.

In alle theorieboeken die ik gelezen heb, wordt voor het geheel de formule:
\(C(t) = C(0)e^{-k_et}\)
gebruikt. Waarbij geldt
\(k_e = \frac{Cl}{V_d}\)
.

Het logische gevolg zou dan dus ons inziens moeten zijn
\(C(t) = C(0)e^{-k_et} = C(0)(1 - k_e)^t\)
, wat dus niet het geval is.
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 14:23

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Benaderingsformule of niet?

De formule die jullie opgesteld hebben, gaat er van uit dat er na 1 uur Cl water gezuiverd wordt, dat de pomp dan een uur stil staat, dan op t=2h de pomp weer Cl water zuivert, op t=3h weer,...

Dus de formule die je hebt opgesteld, stelt dat er tussen de uren niets gebeurt.

Dit is geldig bv voor rente die na elk jaar berekend wordt, maar volgens mij niet voor continue processen.

Wat je hier moet doen is een differentiaalvergelijking opstellen:
\(\frac{dC}{dt}=-\frac{Cl\cdot C}{V}\)


Misschien kan een voorbeeldje helpen.

Stel dat de pompsnelheid zo is dat de concentratie elk uur halveert.

Het is eenvoudig om in te zien dat
\(C(t)=C_02^{-t}=e^{-ln(2)t}\)
.

Stel je nu een formule op op dezelfde manier als die van jullie:
\(x(t)=x_0(1-k)^t=x_0(1-0.5)^t\)
Je ziet dus dat de snelheid die je in de tweede formule moet invullen (=0.5), niet gelijk is aan de snelheid in de eerste formule (=ln(2))

De pompsnelheid die je nodig hebt voor een continu proces, is niet dezelfde als die voor een discreet proces.

Dit is ook te verduidelijken als volgt: Stel je hebt een discreet proces; elke uur wordt de helft van het water gezuiverd:

Code: Selecteer alles

 

t =  0   1   2	3	4

C=  32  16   8	4	2
Stel je hebt nu hetzelfde proces, maar je zuivert nu elk half uur een kwart van het water:

Code: Selecteer alles

 

t =  0  0.5   1   1.5	  2

C=  32  24   18   13.5  10.125
Je ziet dus, dat hoewel de zuiversnelheid nog steeds de helft per uur is, er toch een verschil optreedt. Als je steeds kleinere tijdstappen neemt, zul je dus een betere benadering krijgen van de werkelijkheid.

Dit is eenvoudig te verklaren: Als je in een discreet proces 1000 liter zuivert, dan heb je C_0*1000l gezuiverd.

Maar als je dit in een continu proces doet, dan neemt de concentratie voortdurend af, met andere woorden in het tweede half uur zuiver je minder dan in het eerste half uur. Hetzelfde voor de tweede minuut in vergelijking met de eerste minuut.

Wil je in dit continu proces evenveel zuiveren als in het discrete, dan zul je meer moeten pompen dan 1000l/h.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 14:38

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Benaderingsformule of niet?

Er vanuitgande dat je bedoelt:
\(C(t)=C_02^{-t}=C(0)e^{-ln(2)t}\)
kan ik dit heel goed inzien.
De formule die jullie opgesteld hebben, gaat er van uit dat er na 1 uur Cl water gezuiverd wordt, dat de pomp dan een uur stil staat, dan op t=2h de pomp weer Cl water zuivert, op t=3h weer,...
Dat snap ik even niet. Wij gaan er vanuit dat wij de hele tijd doorzuiveren, maar dat de output van je pomp direct weer mengt met de rest van vissenkom.

Je zou best gelijk kunnen hebben dat onze formule niet in onze situatie past, maar ik zie even niet in waarom niet, tot mijn spijt.
Je ziet dus, dat hoewel de zuiversnelheid nog steeds de helft per uur is, er toch een verschil optreedt. Als je steeds kleinere tijdstappen neemt, zul je dus een betere benadering krijgen van de werkelijkheid.
Dit begin ik beter te snappen. Alleen snap ik nog steeds niet helemaal waarom. Ik snap je getallenvoorbeeld wel, maar niet waarom je dat niet met een formule als die van ons zou kunnen en mogen beschrijven. Wat zou er bijv. anders moeten zijn aan onze formule?

Heb je mss een iets duidelijke uitleg of een artikel die het vrij duidelijk uitlegt?

In elk geval tot op heden veel dank voor je poging. Je getallenvoorbeeld is in elk geval duidelijk.
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 14:55

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Benaderingsformule of niet?

JWvdVeer schreef:Er vanuitgande dat je bedoelt:
\(C(t)=C_02^{-t}=C(0)e^{-ln(2)t}\)
Dat snap ik even niet. Wij gaan er vanuit dat wij de hele tijd doorzuiveren, maar dat de output van je pomp direct weer mengt met de rest van vissenkom.

Je zou best gelijk kunnen hebben dat onze formule niet in onze situatie past, maar ik zie even niet in waarom niet, tot mijn spijt.
Wat jullie zeggen is:

De pompsnelheid is A l/h, de concentratie is C, en het volume is V

Dus de afname in concentratie per tijdseenheid is C*A/V

In deze formule ga je er dus (onbewust) van uit dat gedurende een hele tijdseenheid de concentratie C blijft.

Maar de concentratie neemt voortdurend af; je zult dus een integraal moeten uitvoeren, wat overeenkomt met die differentiaalvergelijking die ik gegeven heb op te lossen.

Net alsof je het volgend probleem zou oplossen als volgt:

Massa met beginsnelheid 1m/s, vesnelling 1m/s². Wat is de afgelegde afstand?

x(1)=0+1m/s*1s=1m

v(1)=1m/s+1m/s²*1s=2m/s

x(2)=x(1)+v(1)*1s=3m

v(2)=v(1)+1m/s*1s=3m/s

....

Je ziet dat dit uiteraard niet klopt, omdat de snelheid continu toeneemt, en niet trapsgewijs.

De benadering wordt wel beter naarmate je kleinere tijdsstappen neemt.

Net hetzelfde met de concentratie in jouw voorbeeld.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 15:12

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Benaderingsformule of niet?

het punt is dat volgens de theorie (Pharmacology van Rang & Dale o.a.) geldt q = k = Cl/Vd.
Dan is die theorie fout (doch waarschijnlijk is het gewoon een kwestie van dat er ergens iets te stug aan bepaalde constante-definities wordt vastgehouden zonder op de context te letten).

Met de parameters die JWvdVeer bovenaan gaf is
\(C(t)=C(0)\left(1-\frac{Cl}{V}\right)^t = C(0)e^{\log(1-Cl/V)t}\)
correct, en iets anders niet.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 15:17

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Benaderingsformule of niet?

ZVdP schreef:Wat jullie zeggen is:

De pompsnelheid is A l/h, de concentratie is C, en het volume is V

Dus de afname in concentratie per tijdseenheid is C*A/V

In deze formule ga je er dus (onbewust) van uit dat gedurende een hele tijdseenheid de concentratie C blijft.
Nee pas op, hou in de gaten wat hier constantes zijn en wat er verandert met de tijd: C in dit geval - sterker nog, het bepalen van de functie C(t) was waar deze hele vraag om draaide.

De pompsnelheid is A l/s, het volume is V l, dus de afname in concentratie is een factor A/V Hz.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 15:17

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Benaderingsformule of niet?

Met de parameters die JWvdVeer bovenaan gaf is
\(C(t)=C(0)\left(1-\frac{Cl}{V}\right)^t = C(0)e^{\log(1-Cl/V)t}\)
correct, en iets anders niet.


Volgens mij wordt de oplossing gegeven door:
\(\frac{dC}{dt}=-\frac{Cl\cdot C}{V}\)
\(\rightarrow C(t)=C_0e^{-\frac{Cl}{V}t}\)


Of zie ik dat verkeerd?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 15:57

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Benaderingsformule of niet?

Allez, nog een poging om mezelf duidelijk te maken:
\(C(0)=C_0\)
\(C(1)=C_0*(1-\frac{Cl}{V})\)
Dit is volgens mij al niet correct.

Je zegt hierdoor eigenlijk:

Op 1 uur wordt er Cl liter gezuiverd, dus de hoeveelheid van de stof die gezuiverd wordt is C0Cl

Dus
\(C(1)=C_0-\frac{C_0Cl}{V}=C_0(1-\frac{Cl}{V})\)
Maar, de stelling dat er op 1 uur C0Cl van de stof uit het water gehaald wordt, is niet correct.

Aangezien tijdens dit uur de concentratie niet C0 blijft, zal de pomp dus niet evenveel zuiveren op het einde als in het begin.

Alhoewel er Cl liter door de pomp gepasseerd is, was de concentratie van al dit water niet C0.

Vandaar dat je het moet herschrijven met een integraal:
\(C(t)=C_0-\int_{0}^{t}C\frac{Cl}{V}dt\)
Afleiden hiervan geeft mijn differentiaalvergelijking.

Maar wat jullie stellen is:
\(C(1)=C_0-\int_{0}^{1}C_0\frac{Cl}{V}dt=C_0(1-\frac{Cl}{V})\)
\(C(2)=C(1)-\int_{1}^{2}C(1)\frac{Cl}{V}dt=C(1)(1-\frac{Cl}{V})=C_0(1-\frac{Cl}{V})²\)
enz...

Alsof de concentratie gedurende een tijdsperiode onafhankelijk is van t.

Ik hoop dat ik het hiermee wat duidelijker heb kunnen uitleggen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 08-06-'10, 17:34

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Benaderingsformule of niet?

Ik doe dan ook nog wel een duit in het zakje...

Op een bepaald ogenblik is de hoeveelheid van de verontreiniging in het totale volume \(T(t)\). We gaan nu een heel klein beetje in de toekomst. We halen daarom een klein volume water uit het totale volume en stoppen dan eenzelfde hoeveelheid schoon water terug. In het verwijderde volume zit de volgende hoeveelheid verontreiniging:
\(\frac{T(t)}{V} \cdot \Delta V\)
in woorden: de concentratie maal het verwijderde volume. Dus:
\(T(t+\Delta t) = T(t) - \frac{T(t)}{V} \cdot \Delta V\)
We weten hoeveel volume er met het pompje verwijderd wordt per tijdseenheid:
\(T(t+\Delta t) = T(t) - \frac{T(t)}{V} \cdot C_l \cdot \Delta t\)
We kunnen nu afleiden:
\(T(t+\Delta t) - T(t) = T(t) - \frac{T(t)}{V} \cdot C_l \cdot \Delta t - T(t)\)
\(T(t+\Delta t) - T(t) = - \frac{T(t)}{V} \cdot C_l \cdot \Delta t\)
\(\frac{T(t+\Delta t) - T(t)}{\Delta t} = - \frac{T(t)}{V} \cdot C_l\)
Neem de limiet van delta t naar nul om de differentiaalvergelijking te vinden:
\(\frac{dT(t)}{dt} = - \frac{C_l}{V} \cdot T(t)\)
We willen alleen niet de totale hoeveelheid verontreiniging maar de concentratie. We weten dat geldt:
\(C(t) = \frac{T(t)}{V}\)
Dit kunnen we substitueren in de differentiaalvergelijking:
\(\frac{d\frac{C(t)}{V}}{dt} = - \frac{C_l}{V} \cdot \frac{C(t)}{V}\)
\(\frac{1}{V} \frac{dC(t)}{dt} = - \frac{C_l}{V} \cdot \frac{C(t)}{V}\)
\(\frac{dC(t)}{dt} = - \frac{C_l}{V} \cdot C(t)\)
Algemene oplossing is dus:
\(C(t) = C_0 \cdot e^{- \frac{C_l}{V}}\)
Omhoog

Bericht 09-06-'10, 10:42

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Benaderingsformule of niet?

@Evilbro:

Je algemene oplossing:
\(C(t) = C_0 \cdot e^{- \frac{C_l}{V}}\)
Is een constante en blijft altijd gelijk.
\(\frac{Cl}{V}\)
blijft namelijk gelijk (het volume van de vissenkom en de pompsnelheid van het pompje). Ik neem dus aan dat er ergens een t vergeten is.

Ik begin overigens het hele geheel te snappen nu ik die differentiaalvergelijkingen zie e.d.

De differentiaalvergelijking:
\(\frac{dC}{dt}=-\frac{Cl\cdot C}{V}\)
Komt ook terug in mijn theorieboek (Farmacologie, Sitsen et al., p.42), als
\(\frac{dC}{dt} = \frac{Cl}{V} \cdot C = k_e \cdot C\)
. Wat mij betreft ben ik daarin dus volledig overtuigd.

Maar als ik het voorgaande ook goed begrijp: Stel dat ik de klaring in volume/seconde uit zou drukken, dan zou onze verzonnen formule een stuk beter benaderen dan wanneer ik volume/uur uit druk? (met uiteraard een t die in overeenkomstige eenheid is uitgedrukt).

Dus m.a.w.: als ik k klein is, dan is de benadering beter?
Omhoog

Bericht 09-06-'10, 10:50

ZVdP

Gebruikersavatar
Berichten: 2.097

Re: Benaderingsformule of niet?

JWvdVeer schreef:Maar als ik het voorgaande ook goed begrijp: Stel dat ik de klaring in volume/seconde uit zou drukken, dan zou onze verzonnen formule een stuk beter benaderen dan wanneer ik volume/uur uit druk? (met uiteraard een t die in overeenkomstige eenheid is uitgedrukt).

Dus m.a.w.: als ik k klein is, dan is de benadering beter?
Inderdaad, je maakt eigenlijk een Riemannsom van de integraal; des te kleiner de stap, des te nauwkeuriger het antwoord.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower

Conserve energy: Commute with a Hamiltonian
Omhoog

Bericht 09-06-'10, 10:50

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Benaderingsformule of niet?

Ik neem dus aan dat er ergens een t vergeten is.
Klopt... slordigheidje...
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”