Pagina 1 van 2
Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 00:44
door Westy
Ik vroeg me af:
de afgeleide van
\(f(x)=\sqrt(x)\)
is
\(1 / 2\sqrt(x)\)
maar de afgeleide is gedefinieerd dmv een liniet, en een limiet bestaat enkel als zowel de linker als de rechterlimiet bestaan en gelijk zijn;
kan ik dan spreken over de afgeleide van
\(\sqrt(x)\)
in het punt 0 ?
Want de functie is toch niet gedefinieerd voor x-waarden <0?
Bestaat de afgeleide in het punt 0 dan niet?
(natuurlijk zie ik aan de formule van de afgeleide dat die in nul
\(1/0 = \inf\)
geeft, en dat kan natuurlijk niet,
maar ik had het hier eigenlijk over het probleem dat de limiet in dat punt in feite niet bestaat...
Misschien zijn er betere voorbeelden te vinden?)
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 07:17
door thermo1945
Jouw functie heeft een rechter afgeleide.
Je grafiek 'start' bij x=0 verticaal.
Een functie die echt bij x=0 problemen geeft is (sinx)/x.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 10:22
door JWvdVeer
de afgeleide van
\(f(x)=\sqrt(x)\)
is
\(1 / 2\sqrt(x)\)
Neem aan dat je bedoelt:
\(f(x) = \sqrt{x} \Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
.
En inderdaad, het rechter limiet naar 0 daarvan is positief oneindig.
Een functie die echt bij x=0 problemen geeft is (sinx)/x
Tenzij je natuurlijk gewoon een formulekaart hebt met de standaardlimieten waar op staat:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 16:10
door TD
Westy schreef:kan ik dan spreken over de afgeleide van
\(\sqrt(x)\)
in het punt 0 ?
Want de functie is toch niet gedefinieerd voor x-waarden <0?
Bestaat de afgeleide in het punt 0 dan niet?
Het is een kwestie van conventie, maar je kan afspreken om in een randpunt te spreken over "de afgeleide" en die te definiëren als de rechter- dan wel linkerafgeleide. Jouw functie is in 0 alleszins niet afleidbaar; tenzij je "oneindig" toelaat.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 17:29
door thermo1945
Tenzij je natuurlijk gewoon een formulekaart hebt met de standaardlimieten waar op staat:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
Het ging me met name om de afgeleide bij x=0.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 22:28
door TD
Wat is het probleem precies? Overigens, sin(x)/x bestáát niet eens in x = 0, laat staan dat de afgeleide er zou bestaan. Je kan de functie wel continu uitbreiden, zelfs differentieerbaar.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 22:30
door Westy
Bedankt voor de reacties
Het is een kwestie van conventie, maar je kan afspreken om in een randpunt te spreken over "de afgeleide" en die te definiëren als de rechter- dan wel linkerafgeleide. Jouw functie is in 0 alleszins niet afleidbaar; tenzij je "oneindig" toelaat.
OK, ik snap dat er in randpunten evt alleen een rechter- dan wel linkerafgeleide kan bestaan;
maar we kunnen daar niet echt spreken van "de afgeleide", aangezien die enkel bestaat als linker- en rechterafgeleide beide bestaan en gelijk zijn; tenzij door conventie evt iets anders wordt afgesproken.
Mijn voorbeeld was inderdaad wat ongelukkig uitgekozen...
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 22:55
door TD
Westy schreef:OK, ik snap dat er in randpunten evt alleen een rechter- dan wel linkerafgeleide kan bestaan;
maar we kunnen daar niet echt spreken van "de afgeleide", aangezien die enkel bestaat als linker- en rechterafgeleide beide bestaan en gelijk zijn; tenzij door conventie evt iets anders wordt afgesproken.
Dat is precies wat men doet om over "differentieerbaarheid" op een gesloten interval [a,b] te spreken; wat jij gewoon bent op (a,b) en rechts- resp. linksdifferentieerbaar in a en b.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: za 12 jun 2010, 23:02
door Westy
JWvdVeer schreef:QUOTE: "de afgeleide van
\(f(x)=\sqrt(x)\)
is
\(1 / 2\sqrt(x)\)
"
Neem aan dat je bedoelt:
\(f(x) = \sqrt{x} \Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
.
Beste JWvdVeer,
Ja dat is inderdaad wat ik bedoelde. Het was echter niet mijn bedoeling om een formeel exacte wiskundige zin te schrijven, maar gewoon om kort iets duidelijk te maken, en ik denk dat dat mijn bedoeling wel duidelijk was, niet?
Maar ik apprecieer je exactheid, hoor.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: zo 13 jun 2010, 00:01
door thermo1945
Overigens, sin(x)/x bestáát niet eens in x = 0, laat staan dat de afgeleide er zou bestaan.
Een functie die echt bij x=0 problemen geeft is (sinx)/x.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: zo 13 jun 2010, 00:02
door JWvdVeer
Ja dat is inderdaad wat ik bedoelde. Het was echter niet mijn bedoeling om een formeel exacte wiskundige zin te schrijven, maar gewoon om kort iets duidelijk te maken, en ik denk dat dat mijn bedoeling wel duidelijk was, niet?
Maar ik apprecieer je exactheid, hoor.
Klinkt enige sarcasme en mogelijk wat frustratie in door. Het probleem van jouw post was dat je de formule die je gaf eigenlijk fout was (de wortel stond eigenlijk niet meer in de noemer), wat verwarring kon opleveren. En inderdaad, de bedoeling was verder duidelijk. Maar als je toch LaTeX aan het gebruiken bent, doe het dan a.u.b. goed.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: zo 13 jun 2010, 00:15
door TD
Overigens, sin(x)/x bestáát niet eens in x = 0, laat staan dat de afgeleide er zou bestaan.
Een functie die echt bij x=0 problemen geeft is (sinx)/x.
Wat bedoel je hiermee? Je zei namelijk eerder:
Het ging me met name om de afgeleide bij x=0.
Misschien moet je gewoon wat duidelijker aangeven wat je met het voorbeeld sin(x)/x in deze context wil illustreren.
Klinkt enige sarcasme en mogelijk wat frustratie in door.
Dat lees ik er niet in, dus ik zou het er ook niet in
zoeken.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: zo 13 jun 2010, 00:17
door JWvdVeer
Het ging me met name om de afgeleide bij x=0.
De limiet daarvan is 0 in die
\(\frac{sin{x}}{x}\)
en in jouw geval oneindig positief.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: zo 13 jun 2010, 00:30
door Westy
Klinkt enige sarcasme en mogelijk wat frustratie in door. Het probleem van jouw post was dat je de formule die je gaf eigenlijk fout was (de wortel stond eigenlijk niet meer in de noemer), wat verwarring kon opleveren. En inderdaad, de bedoeling was verder duidelijk. Maar als je toch LaTeX aan het gebruiken bent, doe het dan a.u.b. goed.
Het was niet mijn bedoeling op zere tenen te trappen, ik wou gewoon mijn standpunt geven. Je opmerking ivm die wortel is terecht. Wat dat sarcasme en frustratie betreft, dat is voor jouw rekening. TD heeft volkomen gelijk. Ik denk niet dat het zin heeft hier nog verder op door te gaan.
Re: Afgeleide in nul
Geplaatst: zo 13 jun 2010, 07:31
door thermo1945
De limiet daarvan is 0 in die
\(\frac{sin{x}}{x}\)
en in jouw geval oneindig positief.
Deze limiet = 1. !
