Asymptoten bij irrationale functies
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 11
Asymptoten bij irrationale functies
Ik heb een probleem bij het berekenen de schuine asymptoot van de functie 2· (x^2-4x+3).
Als eerste stap heb ik dan na toepassing van de formule lim (x-->+ ) f(x)/x lim (x-->+ ) (2x/x)=2, dat is dan de a-waarde.
Vervolgens heb ik de formule lim (x-->+ ) f(x)-ax gebruikt en bekom ik:
lim (x-->+ ) (2x· (1-4/x+3/x^2)-2x ) wat dan gelijk is aan nul voor de b-waarde.
Als vergelijking voor de schuine asymptoot bekom ik dus y=2x, terwijl het volgens mijn handboek y= 2X-4 zou moeten zijn.
Waar zit mijn fout?
Als eerste stap heb ik dan na toepassing van de formule lim (x-->+ ) f(x)/x lim (x-->+ ) (2x/x)=2, dat is dan de a-waarde.
Vervolgens heb ik de formule lim (x-->+ ) f(x)-ax gebruikt en bekom ik:
lim (x-->+ ) (2x· (1-4/x+3/x^2)-2x ) wat dan gelijk is aan nul voor de b-waarde.
Als vergelijking voor de schuine asymptoot bekom ik dus y=2x, terwijl het volgens mijn handboek y= 2X-4 zou moeten zijn.
Waar zit mijn fout?
- Berichten: 3.330
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Het handboek heeft gelijk. Misschien fout maken als ge de teller en noemer vermenigvuldigt met iets om teller rational te krijgen:(a-b)(a+b)=a²-b²sumpie schreef:Ik heb een probleem bij het berekenen de schuine asymptoot van de functie 2· (x^2-4x+3).
Als eerste stap heb ik dan na toepassing van de formule lim (x-->+ ) f(x)/x lim (x-->+ ) (2x/x)=2, dat is dan de a-waarde.
Vervolgens heb ik de formule lim (x-->+ ) f(x)-ax gebruikt en bekom ik:
lim (x-->+ ) (2x· (1-4/x+3/x^2)-2x ) wat dan gelijk is aan nul voor de b-waarde.
Als vergelijking voor de schuine asymptoot bekom ik dus y=2x, terwijl het volgens mijn handboek y= 2X-4 zou moeten zijn.
Waar zit mijn fout?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
- Berichten: 24.578
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Hoe kom je aan 0? Laat eventueel je uitwerking eens zien.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 11
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Het handboek heeft gelijk. Misschien fout maken als ge de teller en noemer vermenigvuldigt met iets om teller rational te krijgen:(a-b)(a+b)=a²-b²
De uitwerking:Hoe kom je aan 0? Laat eventueel je uitwerking eens zien.
lim (2· (x^2 - 4·x + 3) - 2·x) = lim 2x* (1-4/x+3/x^2) -2x
De wortel is dan gelijk aan 1 omdat de tweede en derde term naderen naar nul. Vervolgens is 2x - 2x dan gelijk aan nul
En inderdaad, Kotje, dan kom je het antwoord van het boek uit. Maar stel nu dat ik dat antwoord niet wist, hoe weet ik dan dat mijn oorspronkelijke antwoord fout is? Moet ik ergens nog een voorwaarde stellen?Het handboek heeft gelijk. Misschien fout maken als ge de teller en noemer vermenigvuldigt met iets om teller rational te krijgen:(a-b)(a+b)=a²-b²
- Berichten: 24.578
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Het is niet omdat die wortel voor x naar oneindig naar 1 gaat, dat je daarna gewoon 2x - 2x overhoudt en mag schrappen! Zo gaat het vetgedrukte deel in 2x(1+1/x)-2x ook naar 1 voor x naar oneindig, maar je mag niet zomaar zeggen dat je daardoor 2x-2x = 0 krijgt. Werk de haakjes maar uit en je zal zien dat het naar 2 gaat. In jouw geval is dat 'minder eenvoudig' te zien, vermenigvuldigen met de toegevoegde uitdrukking is dan een optie (zie eerder).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 11
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Mijn fout zit dus in het feit dat ik te vroeg stel dat de vierkantswortel nadert naar nul?
En hoe weet je precies wanneer je dan het toegevoegde moet gebruiken?
En hoe weet je precies wanneer je dan het toegevoegde moet gebruiken?
- Berichten: 24.578
Re: Asymptoten bij irrationale functies
De vierkantswortel nadert niet naar 0; de uitdrukking eronder naar 1, en dus ook die vierkantswortel naar 1.
Wat jij wil doen is eerst de limieten afzonderlijk nemen, maar die van 2x voor x naar oneindig bestaan niet. Dan zou je op een onbepaaldheid van oneindig min oneindig uitkomen. Jij zegt dat dat 0 is, door terug de limiet van het geheel te nemen, maar dat mag allemaal zomaar niet. Jij wil zoiets doen, denk ik:
Wat jij wil doen is eerst de limieten afzonderlijk nemen, maar die van 2x voor x naar oneindig bestaan niet. Dan zou je op een onbepaaldheid van oneindig min oneindig uitkomen. Jij zegt dat dat 0 is, door terug de limiet van het geheel te nemen, maar dat mag allemaal zomaar niet. Jij wil zoiets doen, denk ik:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2x\sqrt \cdots - 2x} \right) \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt \cdots }_1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2x - 2x} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 11
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Ik denk dat ik het begrijp. Als ik strikter de rekenregels volg, zal ik zien dat de uitkomst niet gedefinieerd zal zijn en om dat te vermijden moet ik dan het toegevoegde gebruiken, juist?TD schreef:De vierkantswortel nadert niet naar 0; de uitdrukking eronder naar 1, en dus ook die vierkantswortel naar 1.
Wat jij wil doen is eerst de limieten afzonderlijk nemen, maar die van 2x voor x naar oneindig bestaan niet. Dan zou je op een onbepaaldheid van oneindig min oneindig uitkomen. Jij zegt dat dat 0 is, door terug de limiet van het geheel te nemen, maar dat mag allemaal zomaar niet. Jij wil zoiets doen, denk ik:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2x\sqrt \cdots - 2x} \right) \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt \cdots }_1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x - \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } 2x \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2x - 2x} \right)\)
En dat van de wortel die nadert naar nul was een verstrooidheidsfout, excuses.
- Berichten: 24.578
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Inderdaad, dat lijkt me een goed plan: goed onthouden wat er precies toegelaten is. Zo voorkom je dat je stappen doet die helemaal niet mogen en je misschien tot een fout antwoord leiden. De onbepaaldheid kan je hier opheffen door vermenigvuldiging met de toegevoegde uitdrukking.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Asymptoten bij irrationale functies
Graag gedaan; succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)