Wet van gauss vs. wet van coulomb

Box

Neem een holle geleidende sfeer (straal r) met een netto positieve lading +q. De lading zal zich gelijk verdelen over de sfeer (symmetrieredenen), ook moet het gevormde elektrische veld radiaal zijn (symmetrieredenen).

Neem nu een gausisch oppervlak, een concentrische sfeer met een grotere straal R. Alle veldlijnen staan haaks op het oppervlak van de sfeer en de veldsterkte is gelijk voor elk punt van het oppervlak, aldus is de electrische flux door het gausisch oppervlak gelijk aan E*oppervlakte sfeer = +E*4*Pi*R^2 met E de grootte van de electrische veldsterkte. Volgens de wet van gauss is die gelijk aan de omsloten lading van het gausisch oppervlak gedeeld door de permittiviteit van het vacuüm (e0):

dus: +E*4*Pi*R^2= +q/e0 <=> E= +q / (e0 * 4 * Pi * R^2)

Laat ik nu in de limiet R gaan naar r, dan is de veldsterkte op het oppervlak van de sfeer van straal r gelijk aan:

E= +q / (e0 * 4 * Pi * r^2)

Aldus is de veldsterkte daar eindig.

1) Zou je niet verwachten dat ze daar onbegrensd wordt? Of komt dat omdat je maar in direct contact komt met een infinitesimale hoeveelheid lading in plaats van met een eindige lading ?

2) Verder brengt mij dat tot een volgende vraag: mag je de wet van gauss OP het oppervlak van de geleidende sfeer met straal r nog toepassen? Wat is dan de ingesloten lading? q of 0? (want bij electrostatisch evenwicht bevindt de overtallige lading zich volledig op het oppervlak)

Dank bij voorbaat, Box.

bessie

Nog geen antwoord dus probeer ik het. Omdat alle bollen concentrisch zijn lopen alle veldlijnen loodrecht op de oppervlakken. Elke bol heeft dus over zijn hele oppervlak een constante flux en potentiaal. Je mag volgens mij de totale lading dan geconcentreerd denken in het centrum van de binnenste bol, en vervolgens alle bollen wegdenken. In dit veld zijn flux en potentiaal alleen afhankelijk van de afstand tot het middelpunt.

Maar bedenk wel dat de fysieke lading op de bol zit met straal r, dus voor afstanden kleiner dan r is de schematisering niet geldig. Maar op elke bol met straal groter of gelijk dan r krijg je gewoon een fysisch mogelijk, radiaal veld vanaf het oppervlak, met eindige flux en potentiaal. Kun je hier iets mee?

kotje

Box schreef:Neem een holle geleidende sfeer (straal r) met een netto positieve lading +q. De lading zal zich gelijk verdelen over de sfeer (symmetrieredenen), ook moet het gevormde elektrische veld radiaal zijn (symmetrieredenen).

Neem nu een gausisch oppervlak, een concentrische sfeer met een grotere straal R. Alle veldlijnen staan haaks op het oppervlak van de sfeer en de veldsterkte is gelijk voor elk punt van het oppervlak, aldus is de electrische flux door het gausisch oppervlak gelijk aan E*oppervlakte sfeer = +E*4*Pi*R^2 met E de grootte van de electrische veldsterkte. Volgens de wet van gauss is die gelijk aan de omsloten lading van het gausisch oppervlak gedeeld door de permittiviteit van het vacuüm (e0):

dus: +E*4*Pi*R^2= +q/e0 <=> E= +q / (e0 * 4 * Pi * R^2)

Laat ik nu in de limiet R gaan naar r, dan is de veldsterkte op het oppervlak van de sfeer van straal r gelijk aan:

E= +q / (e0 * 4 * Pi * r^2)

Aldus is de veldsterkte daar eindig.

1) Zou je niet verwachten dat ze daar onbegrensd wordt? Of komt dat omdat je maar in direct contact komt met een infinitesimale hoeveelheid lading in plaats van met een eindige lading ?

2) Verder brengt mij dat tot een volgende vraag: mag je de wet van gauss OP het oppervlak van de geleidende sfeer met straal r nog toepassen? Wat is dan de ingesloten lading? q of 0? (want bij electrostatisch evenwicht bevindt de overtallige lading zich volledig op het oppervlak)

Dank bij voorbaat, Box.

Als R van concentrische sfeer naar r gaat langs buitenkant dan gaat volgens wet Gauss E naar +q/(e0*4*Pi*r^2) en haaks op de sfeer.

Als dit langs binnenkant gebeurt dan blijft E=0 omdat er geen ladingen binnen de sfeer liggen.

EvilBro

1) Zou je niet verwachten dat ze daar onbegrensd wordt? Of komt dat omdat je maar in direct contact komt met een infinitesimale hoeveelheid lading in plaats van met een eindige lading ?

Dit laatste is simpel gezegd het geval. Omdat ik de integralen die hierbij komen kijken bij deze bol ietwat vervelend vind, ga ik de situatie van een oneindige lijn (de z-as) met daarop lading bekijken. Ik vermoed namelijk dat dit hetzelfde gevoel oplevert.

Stel dus dat op de z-as een ladingsdichtheid \(\rho_L\) aanwezig is. Voor een punt dat op afstand r van de z-as ligt, geldt dat een klein stukje lading dq op positie z de volgende bijdrage levert:

\(dE_x = \frac{dq}{4 \pi \epsilon_0 (z^2 + r^2)} \frac{r}{\sqrt{z^2 + r^2}} = \frac{\rho_L dz}{4 \pi \epsilon_0 (z^2 + r^2)} \frac{r}{\sqrt{z^2 + r^2}}\)

Hierbij herken je de eerste term als de wet van Coulomb en de tweede term als de verhouding tussen de schuine en de x-as (om de bijdrage in de x-richting te verkrijgen). Voor de totale x-component geldt:

\(E_x = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\rho_L r}{4 \pi \epsilon_0 (z^2 + r^2)^{\frac{3}{2}}} dz = \frac{\rho_L}{4 \pi \epsilon_0 r} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{r^2}{(z^2 + r^2)^{\frac{3}{2}}} dz = \frac{\rho_L}{4 \pi \epsilon_0 r} \left[\frac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}} \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{\rho_L}{2 \pi r \epsilon_0}\)

Dit antwoord is gelijk aan wat je vindt als je Gauss toepast.

2) Verder brengt mij dat tot een volgende vraag: mag je de wet van gauss OP het oppervlak van de geleidende sfeer met straal r nog toepassen? Wat is dan de ingesloten lading? q of 0? (want bij electrostatisch evenwicht bevindt de overtallige lading zich volledig op het oppervlak)

Dat kan volgens mij niet. Je kunt het veld net boven het oppervlak berekenen en je kunt het veld net in de geleider berekenen, maar je kunt niet 'door de lading heen snijden'. Ik denk dat dit komt doordat de lading gezien wordt als een puntverschijnsel (= zonder afmetingen).

Emveedee

2) Verder brengt mij dat tot een volgende vraag: mag je de wet van gauss OP het oppervlak van de geleidende sfeer met straal r nog toepassen? Wat is dan de ingesloten lading? q of 0? (want bij electrostatisch evenwicht bevindt de overtallige lading zich volledig op het oppervlak)

Dat kan volgens mij niet. Je kunt het veld net boven het oppervlak berekenen en je kunt het veld net in de geleider berekenen, maar je kunt niet 'door de lading heen snijden'. Ik denk dat dit komt doordat de lading gezien wordt als een puntverschijnsel (= zonder afmetingen).

Voor een geleidende bol kan het volgens mij inderdaad niet. Je kan wel Gauss gebruiken om te kijken of iets bijv. een oppervlaktelading is.

Voor een isolerende bol met een ruimtelading kan je overigens wel m.b.v. Gauss in de sfeer zelf kijken.

EvilBro

Met mijn opmerking bedoel ik dat het doorsnijdende oppervlak geen dikte heeft. Er zit dus geen lading in het doorsnijdende oppervlak.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Wet van gauss vs. wet van coulomb

Wet van gauss vs. wet van coulomb

Re: Wet van gauss vs. wet van coulomb

Re: Wet van gauss vs. wet van coulomb

Re: Wet van gauss vs. wet van coulomb

Re: Wet van gauss vs. wet van coulomb

Re: Wet van gauss vs. wet van coulomb