Springen naar inhoud

Oppervlakte van een bol


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Stefan13_13

    Stefan13_13


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 juni 2010 - 19:26

Hallo,

Iedereen weet dat de oppervlakte van een bol Abol = 4*pi*R2 is.

Nu probeerde ik dit (voor de lol) zelf af te leiden en ik kom op een ander antwoord, maar ik zie niet wat ik fout doe. Wellicht kan iemand hier mij helpen! ](*,)

Wat ik dacht, ik beschrijf een halve cirkel met:
r(x) = sqrt(R2 - x2)

Vervolgens berekening ik de omtrek O(x) van een schijf op x met straal r(x)
O(x) = 2*pi*r(x)
O(x) = 2*pi*sqrt(R2 - x2)

Dan is het oppervlakte van zo'n schijf A'(x) = O(x)*dx waar dx de dikte van zo'n schijf is.
Als ik vervolgens A'(x) integreer over x van -R tot R [met bijv. Matlab int(2*pi*sqrt(R2 - xR2),x,-R,R) ]

krijg ik: Abol = pi2*R2

Wat dus niet hetzelfde is als 4*pi*R2 maar ik niet zie wat er fout is aan mijn methode of wat ik fout doe.

plaatje_oppervlakte_bol.JPG

Ik weet dat op wikipedia een veel makkelijkere afleiding staat, maar ik ben nu vooral geÔntereseerd waarom dit niet werkt, want volgens mij had het moeten werken en zie ik iets over het hoofd.

Alvast bedankt voor de reacties!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 juni 2010 - 21:04

Verplaatst naar Analyse & Calculus.

Ga even een stap terug: in je benadering verdeel je de bol in plakjes (loodrecht op de x-as). Zo'n plak met dikte dx, benader jij nu door een cilinder - dus met een constante straal. Je bepaalt dan de manteloppervlakte van zo'n cilinder en die tel je allemaal op; via integratie met dx naar 0.
Zo'n cilinder is echter geen goede benadering voor een dergelijke plak van de bol (toch niet voor de oppervlakte) omdat die straal varieert. Een betere benadering is een afgeknotte kegel. Als je de manteloppervlaktes daarvan optelt en de diktes naar 0 laat gaan, zul je wel de oppervlakte van de bol goed benaderen.
Of nog in andere woorden: de 'fout' die je maakt door een plak van een bol te benaderen door een cilinder om er de oppervlakte van te bepalen, gaat niet naar 0 als de dikte naar 0 gaat. Bij een benadering door afgeknotte kegels, gaat die fout wel naar 0 en 'convergeert' de integraal dus naar de 'correcte oppervlakte'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Stefan13_13

    Stefan13_13


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juni 2010 - 10:31

Heel erg bedankt voor u antwoord! ;)

Dat ik de bol opdeel in kleine cylinders had ik ook bedacht, maar ik dacht omdat dx naar 0 gaat gaat de fout ook naar nul.
Maar dit is dus niet zo ](*,) ,

Zou u me dan kunnen uitleggen hoe dat komt?
Want in mijn ogen gaat de breete van zo'n cylinder naar 0 en maakt het dus niet uit of de straal varriŽerd.
Als ik de inhoud van een bol op deze manier bereken gaat het wel goed, wat is er dan (fundamenteel) anders?

Veranderd door Stefan13_13, 18 juni 2010 - 10:40


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juni 2010 - 11:09

Dat ik de bol opdeel in kleine cylinders had ik ook bedacht, maar ik dacht omdat dx naar 0 gaat gaat de fout ook naar nul.
Maar dit is dus niet zo ](*,) ,

Zou u me dan kunnen uitleggen hoe dat komt?
Want in mijn ogen gaat de breete van zo'n cylinder naar 0 en maakt het dus niet uit of de straal varriŽerd.

Probeer zelf (maak eventueel een schets) de manteloppervlakte voor cilindervormige en (afgeknotte) kegelvormige plakjes op te stellen en neem dan de breedte naar 0. De essentie is dat in een rechthoekige driehoek met breedte dx, hoogte dy en schuine zijde sqrt(dx≤+dy≤), de verhouding van de schuine zijde tot de breedte, niet naar 1 gaat. Voor de manteloppervlakte van de kegel heb je echter die schuine zijde nodig en de benadering van daarvoor de breedte te gebruiken, werkt dus niet.

Als ik de inhoud van een bol op deze manier doe gaat het wel goed, hoe kan dat dan?

Goede vraag. Probeer op dezelfde manier als hierboven de volumes in beide gevallen op te stellen en dan weer de breedte naar 0. Je zal zien dat dit keer, beide benaderingen hetzelfde zullen opleveren. De 'fout' die je maakt door de schuine zijde te vervangen door de breedte is dus wel te verwaarlozen voor het volume (via oppervlaktes), maar niet voor de oppervlakte (via omtrekken).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 juni 2010 - 16:12

Als je van de halve cirkelboog met straal R het zwaartepunt neemt vanuit het cirkelmiddelpunt ( 2R/pi) ,dit zp. een cirkelboog laat beschrijven en die maat vermenigvuldigd met de lengte van de halve cirkelboog (pi*R),dan kom je ook aan de opp (4piR2) ofwel de 4-voudige opp. van de grootste boldsn!

#6

Stefan13_13

    Stefan13_13


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juni 2010 - 16:49

Als je van de halve cirkelboog met straal R het zwaartepunt neemt vanuit het cirkelmiddelpunt ( 2R/pi)


Grappig dat dit ook werkt. Klinkt wel als een logische aanpak.


De essentie is dat in een rechthoekige driehoek met breedte dx, hoogte dy en schuine zijde sqrt(dx≤+dy≤), de verhouding van de schuine zijde tot de breedte, niet naar 1 gaat.


Ahhha ;) ](*,)
Wat slim, dat is het, de schuinezeide van de 'driehoek' is langer dan van de liggende zijde, en schijnbaar gaat deze verhouding dus niet naar 1 maar er blijft een verschil.
Door uit te gaan van cylindrische schijven bouw ik geen mogelijkheid in om deze extra lengte mee te nemen.

Bij afgeknotte kegels (soort driehoekjes) zou het goed moeten gaan?
Dat maakt het sommetje wel wat moeilijker, ik ga er vanavond even naar kijken of het lukt om uit te werken.

Wat ik dan wel lastig vind cos(a) = 1 voor kleine waarden van a, dus toch suggereert dit dat dat die verhouding wel naar 1 gaat. Waarom is dit anders?


Goede vraag. Probeer op dezelfde manier als hierboven de volumes in beide gevallen op te stellen en dan weer de breedte naar 0. Je zal zien dat dit keer, beide benaderingen hetzelfde zullen opleveren. De 'fout' die je maakt door de schuine zijde te vervangen door de breedte is dus wel te verwaarlozen voor het volume (via oppervlaktes), maar niet voor de oppervlakte (via omtrekken).


Bij de omtrek gaat het om de lengte van die schuinezijden. Bij de inhoud maakt dat effect van die langere schuinezijden minder uit en is dus schijnbaar te verwaarlozen.
Als ik hier een kegel zou nemen, zou het dan ook goed gaan en maak ik het mezelf eigenlijk alleen (onnodig) moeilijker?

#7

Stefan13_13

    Stefan13_13


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juni 2010 - 17:03

Het uitwerken van de oppervlakte van de kegel met breede dx is toch wat lastiger dan ik dacht.
Want ik heb nu te maken met begin straal r(x) en eindstraal r(x+dx). ](*,)

Hoe kan ik dit nog schrijven in een formule waarvan ik de integraal kan opstellen?
Als dit teveel typ werk is, misschien alleen een kleine hint ;)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juni 2010 - 15:17

Noem de kleinste straal R en dx verder is dit R+dy. In de benadering met cilinders beschouw je gewoon constant hoogte R op het hele interval; een stuk manteloppervlakte is dan LaTeX . Voor de kegel met stralen R en R+dy wordt dat LaTeX waarbij ds de schuine zijde is van de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden dx en dy.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures