Hallo,
Iedereen weet dat de oppervlakte van een bol Abol = 4*pi*R2 is.
Nu probeerde ik dit (voor de lol) zelf af te leiden en ik kom op een ander antwoord, maar ik zie niet wat ik fout doe. Wellicht kan iemand hier mij helpen! ](*,)
Wat ik dacht, ik beschrijf een halve cirkel met:
r(x) = sqrt(R2 - x2)
Vervolgens berekening ik de omtrek O(x) van een schijf op x met straal r(x)
O(x) = 2*pi*r(x)
O(x) = 2*pi*sqrt(R2 - x2)
Dan is het oppervlakte van zo'n schijf A'(x) = O(x)*dx waar dx de dikte van zo'n schijf is.
Als ik vervolgens A'(x) integreer over x van -R tot R [met bijv. Matlab int(2*pi*sqrt(R2 - xR2),x,-R,R) ]
krijg ik: Abol = pi2*R2
Wat dus niet hetzelfde is als 4*pi*R2 maar ik niet zie wat er fout is aan mijn methode of wat ik fout doe.
[attachment=5786:plaatje_...akte_bol.JPG]
Ik weet dat op wikipedia een veel makkelijkere afleiding staat, maar ik ben nu vooral geïntereseerd waarom dit niet werkt, want volgens mij had het moeten werken en zie ik iets over het hoofd.
Alvast bedankt voor de reacties!
Laatste berichten
-
08:29
Programmeren met vectoren 5
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Oppervlakte van een bol
-
- Berichten: 14
Oppervlakte van een bol
- Bijlagen
-
- plaatje_oppervlakte_bol.JPG (9.42 KiB) 927 keer bekeken
-
- Berichten: 24.578
Re: Oppervlakte van een bol
Verplaatst naar Analyse & Calculus.
Ga even een stap terug: in je benadering verdeel je de bol in plakjes (loodrecht op de x-as). Zo'n plak met dikte dx, benader jij nu door een cilinder - dus met een constante straal. Je bepaalt dan de manteloppervlakte van zo'n cilinder en die tel je allemaal op; via integratie met dx naar 0.
Zo'n cilinder is echter geen goede benadering voor een dergelijke plak van de bol (toch niet voor de oppervlakte) omdat die straal varieert. Een betere benadering is een afgeknotte kegel. Als je de manteloppervlaktes daarvan optelt en de diktes naar 0 laat gaan, zul je wel de oppervlakte van de bol goed benaderen.
Of nog in andere woorden: de 'fout' die je maakt door een plak van een bol te benaderen door een cilinder om er de oppervlakte van te bepalen, gaat niet naar 0 als de dikte naar 0 gaat. Bij een benadering door afgeknotte kegels, gaat die fout wel naar 0 en 'convergeert' de integraal dus naar de 'correcte oppervlakte'.
Ga even een stap terug: in je benadering verdeel je de bol in plakjes (loodrecht op de x-as). Zo'n plak met dikte dx, benader jij nu door een cilinder - dus met een constante straal. Je bepaalt dan de manteloppervlakte van zo'n cilinder en die tel je allemaal op; via integratie met dx naar 0.
Zo'n cilinder is echter geen goede benadering voor een dergelijke plak van de bol (toch niet voor de oppervlakte) omdat die straal varieert. Een betere benadering is een afgeknotte kegel. Als je de manteloppervlaktes daarvan optelt en de diktes naar 0 laat gaan, zul je wel de oppervlakte van de bol goed benaderen.
Of nog in andere woorden: de 'fout' die je maakt door een plak van een bol te benaderen door een cilinder om er de oppervlakte van te bepalen, gaat niet naar 0 als de dikte naar 0 gaat. Bij een benadering door afgeknotte kegels, gaat die fout wel naar 0 en 'convergeert' de integraal dus naar de 'correcte oppervlakte'.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 14
Re: Oppervlakte van een bol
Heel erg bedankt voor u antwoord! 
Dat ik de bol opdeel in kleine cylinders had ik ook bedacht, maar ik dacht omdat dx naar 0 gaat gaat de fout ook naar nul.
Maar dit is dus niet zo ](*,) ,
Zou u me dan kunnen uitleggen hoe dat komt?
Want in mijn ogen gaat de breete van zo'n cylinder naar 0 en maakt het dus niet uit of de straal varriëerd.
Als ik de inhoud van een bol op deze manier bereken gaat het wel goed, wat is er dan (fundamenteel) anders?
Dat ik de bol opdeel in kleine cylinders had ik ook bedacht, maar ik dacht omdat dx naar 0 gaat gaat de fout ook naar nul.
Maar dit is dus niet zo ](*,) ,
Zou u me dan kunnen uitleggen hoe dat komt?
Want in mijn ogen gaat de breete van zo'n cylinder naar 0 en maakt het dus niet uit of de straal varriëerd.
Als ik de inhoud van een bol op deze manier bereken gaat het wel goed, wat is er dan (fundamenteel) anders?
-
- Berichten: 24.578
Re: Oppervlakte van een bol
Probeer zelf (maak eventueel een schets) de manteloppervlakte voor cilindervormige en (afgeknotte) kegelvormige plakjes op te stellen en neem dan de breedte naar 0. De essentie is dat in een rechthoekige driehoek met breedte dx, hoogte dy en schuine zijde sqrt(dx²+dy²), de verhouding van de schuine zijde tot de breedte, niet naar 1 gaat. Voor de manteloppervlakte van de kegel heb je echter die schuine zijde nodig en de benadering van daarvoor de breedte te gebruiken, werkt dus niet.Stefan13_13 schreef:Dat ik de bol opdeel in kleine cylinders had ik ook bedacht, maar ik dacht omdat dx naar 0 gaat gaat de fout ook naar nul.
Maar dit is dus niet zo ](*,) ,
Zou u me dan kunnen uitleggen hoe dat komt?
Want in mijn ogen gaat de breete van zo'n cylinder naar 0 en maakt het dus niet uit of de straal varriëerd.
Goede vraag. Probeer op dezelfde manier als hierboven de volumes in beide gevallen op te stellen en dan weer de breedte naar 0. Je zal zien dat dit keer, beide benaderingen hetzelfde zullen opleveren. De 'fout' die je maakt door de schuine zijde te vervangen door de breedte is dus wel te verwaarlozen voor het volume (via oppervlaktes), maar niet voor de oppervlakte (via omtrekken).Als ik de inhoud van een bol op deze manier doe gaat het wel goed, hoe kan dat dan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.502
Re: Oppervlakte van een bol
Als je van de halve cirkelboog met straal R het zwaartepunt neemt vanuit het cirkelmiddelpunt ( 2R/pi) ,dit zp. een cirkelboog laat beschrijven en die maat vermenigvuldigd met de lengte van de halve cirkelboog (pi*R),dan kom je ook aan de opp (4piR2) ofwel de 4-voudige opp. van de grootste boldsn!
-
- Berichten: 14
Re: Oppervlakte van een bol
Grappig dat dit ook werkt. Klinkt wel als een logische aanpak.Als je van de halve cirkelboog met straal R het zwaartepunt neemt vanuit het cirkelmiddelpunt ( 2R/pi)
AhhhaDe essentie is dat in een rechthoekige driehoek met breedte dx, hoogte dy en schuine zijde sqrt(dx²+dy²), de verhouding van de schuine zijde tot de breedte, niet naar 1 gaat.
](*,) Wat slim, dat is het, de schuinezeide van de 'driehoek' is langer dan van de liggende zijde, en schijnbaar gaat deze verhouding dus niet naar 1 maar er blijft een verschil.
Door uit te gaan van cylindrische schijven bouw ik geen mogelijkheid in om deze extra lengte mee te nemen.
Bij afgeknotte kegels (soort driehoekjes) zou het goed moeten gaan?
Dat maakt het sommetje wel wat moeilijker, ik ga er vanavond even naar kijken of het lukt om uit te werken.
Wat ik dan wel lastig vind cos(a) = 1 voor kleine waarden van a, dus toch suggereert dit dat dat die verhouding wel naar 1 gaat. Waarom is dit anders?
Bij de omtrek gaat het om de lengte van die schuinezijden. Bij de inhoud maakt dat effect van die langere schuinezijden minder uit en is dus schijnbaar te verwaarlozen.Goede vraag. Probeer op dezelfde manier als hierboven de volumes in beide gevallen op te stellen en dan weer de breedte naar 0. Je zal zien dat dit keer, beide benaderingen hetzelfde zullen opleveren. De 'fout' die je maakt door de schuine zijde te vervangen door de breedte is dus wel te verwaarlozen voor het volume (via oppervlaktes), maar niet voor de oppervlakte (via omtrekken).
Als ik hier een kegel zou nemen, zou het dan ook goed gaan en maak ik het mezelf eigenlijk alleen (onnodig) moeilijker?
-
- Berichten: 14
Re: Oppervlakte van een bol
Het uitwerken van de oppervlakte van de kegel met breede dx is toch wat lastiger dan ik dacht.
Want ik heb nu te maken met begin straal r(x) en eindstraal r(x+dx). ](*,)
Hoe kan ik dit nog schrijven in een formule waarvan ik de integraal kan opstellen?
Als dit teveel typ werk is, misschien alleen een kleine hint
Want ik heb nu te maken met begin straal r(x) en eindstraal r(x+dx). ](*,)
Hoe kan ik dit nog schrijven in een formule waarvan ik de integraal kan opstellen?
Als dit teveel typ werk is, misschien alleen een kleine hint
-
- Berichten: 24.578
Re: Oppervlakte van een bol
Noem de kleinste straal R en dx verder is dit R+dy. In de benadering met cilinders beschouw je gewoon constant hoogte R op het hele interval; een stuk manteloppervlakte is dan \(2\pi R dx\). Voor de kegel met stralen R en R+dy wordt dat \(\pi \left( {R + R + dy} \right)ds\) waarbij ds de schuine zijde is van de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden dx en dy.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
