Springen naar inhoud

Limieten rijen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

BadeendjeX123

    BadeendjeX123


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 juni 2010 - 20:55

ik zit vast met het volgende vraagstuk

men verdeelt een cirkel met straal 4 in 12 gelijke delen en men verbindt de deelpunten met het middelpunt. uit één van de deelpunten laat men de loodlijn neer op de volgende straal; vanuit het voetpunt van die loodlijn laat men opnieuw een loodlijn neer op de volgende op de volgende straal en men blijft dit proces oneindig doorzetten.
bereken de som van de lengten van deze loodlijnen.

als ik de eerste loodlijn bereken bekom ik 2, maar ik weet nie hoe je dan verder moet...
kan iemand helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 juni 2010 - 10:08

Ik weet niet hoe je tekening er uit ziet.
Ga uit van een regelmatige 12-hoek, dus 12 'taartpunten'. Er zijn dus ook 12 cirkelsegmenten.
Kies een (eind)punt van zo'n cirkelsegment en laat de loodlijn neer op de andere zijde van de taartpunt.
De lengte van deze loodlijn is dan 4sin(pi/12(=2) (en dat heb je zelf ook gevonden).
Laat uit het voetpunt van deze loodlijn weer een loodlijn neer op de andere zijde van de volgende taartpunt. Je krijgt nu een kleinere rechthoekige driehoek. hoe groot is de hypotenusa van deze driehoek?
Voor de lengte van de loodlijn moet je nu vinden 4cos(pi/12)sin(pi/12). Welke lengte is 4cos(pi/12)?
Ga dat na!
Ga nu niets verder uitrekenen, maar laat sin en cos staan. Steeds is de hoek pi/12. Ga dat na.
Wat wordt de volgende lengte?

#3

blackmisdreavus

    blackmisdreavus


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2010 - 20:04

Ik zal je zeggen hoever ik ben gekomen.
Je hebt een cirkel verdeelt in 12 stukken. In radialen uitgederukt betekend dat dat iedere hoek een lengte heeft van 2pi/12 = pi/6.
Het zijn allemaal rechthoekige driehoeken dus de stelling van Puthagoras geldt, evenals kunnen we de simpele cosinus en sinusregel gebruiken.
We weten dat de lengte l van zo'n stukje voldoet aan:
l^2 = r^2 + (r-k)^2 met k het stukje dat je iedere keer minder hebt.
r-k is gewoon de lengte van je tweede lijnstuk en met de cosinusregel geldt dus: cos(pi/6).r = (r-k) of in het nederlands: de cosinus van onze hoek vermenigvuldigd met de oorspronkelijke straal van de cirkel is de verklijnde straal.
Gezien deze formule kunnen we zeggen:
l^2 = r^2(1+cos(pi/6)^2)
Neem hier de wortel van en je komt uit: l = r/2
De lengte van je lijnstuk is dus gelijk aan de straal gedeeld door 2. (ik noem het de straal om gemakkelijker linken te leggen, deze straal wordt almaar kleiner naarmate je verder gaat)
We weten ook dat de verkorte straal r' gelijk is aan r*cos(pi/6). met r de lengte van de oorspronkelijke straal. In jouw geval zal r dus altijd 4 zijn en r' de verkleinde waarde (r-k).

Om even alles op een rijtje te zetten: de totale lengte van jouw lijnstuk is gelijk aan l + l' + l'' ... en:
l = r/2
l' = r'/2 = r*cos(pi/6)/2
l'' = r''/2 = r'*cos(pi/6)/2 = r.cos(pi/6)^2 /2
...
We merken dat dus de totale som gelijk is aan: r/2 + r.cos(pi/6)/2 +r.cos(pi/6)^2 /2 +r.cos(pi/6)^3 /2 ....
Zetten we r/2 buiten (in jouw geval is dat gewoon 2)dan bekomen we :
ltot = r/2 * (cos(pi/6) + cos(pi/6)^2 + cos(pi/6)^3 + cos(pi/6)^4 ...)
Dit is een rij die ik zelf nog niet kan omzetten in een formule, wieweet kan jij dat wel. We moeten een formule met n aantal termen bekomen en de llimiet nemen voor n gaande naar oneindig.

Ik hoop dat het geholpen heeft, en dat m'n uitleg niet te verwarend is. Tip: schrijf het allemaal eens netjes onder elkaar en stel de stelsels zelf op. ](*,)
Groetjes en een prettige vakantie,
Gert

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 10:10

Verplaatst naar huiswerk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 18:18

Teken het hele probleem eens voor ons uit?

men verdeelt een cirkel met straal 4 in 12 gelijke delen en men verbindt de deelpunten met het middelpunt

Kortom, een cirkel wordt in gedeeld in 12 gelijke delen. Maar waar bevindt zich het `deelpunt`?

uit één van de deelpunten laat men de loodlijn neer op de volgende straal; vanuit het voetpunt van die loodlijn laat men opnieuw een loodlijn neer op de volgende op de volgende straal en men blijft dit proces oneindig doorzetten.

Tja, hier wordt ik verder niet meer wijs uit...

Ik vermoed dat het een somrij gaat worden in de vorm van LaTeX . Maar gezien ik het probleem niet zo volledig snap, kan ik daar verder niet zo veel zinnigs over zeggen...

#6

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 18:27

Is het probleem dit (slechts halve cirkel getekend)?:
cirkeldelen.GIF

#7

blackmisdreavus

    blackmisdreavus


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 18:31

Zo ziet het probleem er snel geschetst uit:

Bijgevoegde miniaturen

  • cirkel.png

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 18:47

Als het mijn geval betreft zou ik zeggen:
LaTeX

Probeer maar eens uit.

Overigens, was het probleem naar mijn mening wel enigszins belabberd beschreven. Dat kan beter, om het zo maar te zeggen. Het kan uiteraard zijn dat je de woorden er niet voor kunt vinden. Maar een tekening doet dan wonderen, zoals eigenlijk bij alle meetkundige problemen.

#9

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 15:01

Het probleem is opgelost?
Kom je ook ergens in de buurt van de 15 uit?

Veranderd door JWvdVeer, 05 augustus 2010 - 15:07


#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 15:02

De vraag van BadeendjeX123 dateert al van 20 juni; het zou goed kunnen dat een reactie nog wel even uitblijft...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 15:39

Snap overigens niet waarom mensen dan een maand na dato nog gaan reageren in een topic. Maar allez.

Tja, niet gezien. Zal dan maar even zelf helpen met de uitwerking (mocht iemand anders ooit nog een soortgelijk probleem hebben en hier nog wat aan hebben):

Uitgaande van de afbeelding (zelfde als die van Blackmisdreavus):
cirkeldelen.GIF

a1 is eenvoudig te berekenen.
LaTeX

Gezien van al de driehoeken die op deze manier ontstaan er twee hoeken hetzelfde zijn (namelijk één hoek is M en één hoek is recht), kunnen we concluderen dat alle driehoeken gelijkvormig zijn (hh). De lengte van de overstaande zijde heeft dus steeds in verhouding met de aanliggende zijde. We kunnen dus een verkleiningsfactor uitrekenen, laten we deze c noemen:
LaTeX

Hieruit volgt de formule:
LaTeX .

De directe formule die hieruit rolt is:
LaTeX

Hiervan moeten we de somrij tot het oneindige hebben:
LaTeX
LaTeX
LaTeX





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures