ik zit vast met het volgende vraagstuk
men verdeelt een cirkel met straal 4 in 12 gelijke delen en men verbindt de deelpunten met het middelpunt. uit één van de deelpunten laat men de loodlijn neer op de volgende straal; vanuit het voetpunt van die loodlijn laat men opnieuw een loodlijn neer op de volgende op de volgende straal en men blijft dit proces oneindig doorzetten.
bereken de som van de lengten van deze loodlijnen.
als ik de eerste loodlijn bereken bekom ik 2, maar ik weet nie hoe je dan verder moet...
kan iemand helpen?
Laatste berichten
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Limieten rijen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Limieten rijen
Ik weet niet hoe je tekening er uit ziet.
Ga uit van een regelmatige 12-hoek, dus 12 'taartpunten'. Er zijn dus ook 12 cirkelsegmenten.
Kies een (eind)punt van zo'n cirkelsegment en laat de loodlijn neer op de andere zijde van de taartpunt.
De lengte van deze loodlijn is dan 4sin(pi/12(=2) (en dat heb je zelf ook gevonden).
Laat uit het voetpunt van deze loodlijn weer een loodlijn neer op de andere zijde van de volgende taartpunt. Je krijgt nu een kleinere rechthoekige driehoek. hoe groot is de hypotenusa van deze driehoek?
Voor de lengte van de loodlijn moet je nu vinden 4cos(pi/12)sin(pi/12). Welke lengte is 4cos(pi/12)?
Ga dat na!
Ga nu niets verder uitrekenen, maar laat sin en cos staan. Steeds is de hoek pi/12. Ga dat na.
Wat wordt de volgende lengte?
Ga uit van een regelmatige 12-hoek, dus 12 'taartpunten'. Er zijn dus ook 12 cirkelsegmenten.
Kies een (eind)punt van zo'n cirkelsegment en laat de loodlijn neer op de andere zijde van de taartpunt.
De lengte van deze loodlijn is dan 4sin(pi/12(=2) (en dat heb je zelf ook gevonden).
Laat uit het voetpunt van deze loodlijn weer een loodlijn neer op de andere zijde van de volgende taartpunt. Je krijgt nu een kleinere rechthoekige driehoek. hoe groot is de hypotenusa van deze driehoek?
Voor de lengte van de loodlijn moet je nu vinden 4cos(pi/12)sin(pi/12). Welke lengte is 4cos(pi/12)?
Ga dat na!
Ga nu niets verder uitrekenen, maar laat sin en cos staan. Steeds is de hoek pi/12. Ga dat na.
Wat wordt de volgende lengte?
-
- Berichten: 17
Re: Limieten rijen
Ik zal je zeggen hoever ik ben gekomen.
Je hebt een cirkel verdeelt in 12 stukken. In radialen uitgederukt betekend dat dat iedere hoek een lengte heeft van 2pi/12 = pi/6.
Het zijn allemaal rechthoekige driehoeken dus de stelling van Puthagoras geldt, evenals kunnen we de simpele cosinus en sinusregel gebruiken.
We weten dat de lengte l van zo'n stukje voldoet aan:
l^2 = r^2 + (r-k)^2 met k het stukje dat je iedere keer minder hebt.
r-k is gewoon de lengte van je tweede lijnstuk en met de cosinusregel geldt dus: cos(pi/6).r = (r-k) of in het nederlands: de cosinus van onze hoek vermenigvuldigd met de oorspronkelijke straal van de cirkel is de verklijnde straal.
Gezien deze formule kunnen we zeggen:
l^2 = r^2(1+cos(pi/6)^2)
Neem hier de wortel van en je komt uit: l = r/2
De lengte van je lijnstuk is dus gelijk aan de straal gedeeld door 2. (ik noem het de straal om gemakkelijker linken te leggen, deze straal wordt almaar kleiner naarmate je verder gaat)
We weten ook dat de verkorte straal r' gelijk is aan r*cos(pi/6). met r de lengte van de oorspronkelijke straal. In jouw geval zal r dus altijd 4 zijn en r' de verkleinde waarde (r-k).
Om even alles op een rijtje te zetten: de totale lengte van jouw lijnstuk is gelijk aan l + l' + l'' ... en:
l = r/2
l' = r'/2 = r*cos(pi/6)/2
l'' = r''/2 = r'*cos(pi/6)/2 = r.cos(pi/6)^2 /2
...
We merken dat dus de totale som gelijk is aan: r/2 + r.cos(pi/6)/2 +r.cos(pi/6)^2 /2 +r.cos(pi/6)^3 /2 ....
Zetten we r/2 buiten (in jouw geval is dat gewoon 2)dan bekomen we :
ltot = r/2 * (cos(pi/6) + cos(pi/6)^2 + cos(pi/6)^3 + cos(pi/6)^4 ...)
Dit is een rij die ik zelf nog niet kan omzetten in een formule, wieweet kan jij dat wel. We moeten een formule met n aantal termen bekomen en de llimiet nemen voor n gaande naar oneindig.
Ik hoop dat het geholpen heeft, en dat m'n uitleg niet te verwarend is. Tip: schrijf het allemaal eens netjes onder elkaar en stel de stelsels zelf op. ](*,)
Groetjes en een prettige vakantie,
Gert
Je hebt een cirkel verdeelt in 12 stukken. In radialen uitgederukt betekend dat dat iedere hoek een lengte heeft van 2pi/12 = pi/6.
Het zijn allemaal rechthoekige driehoeken dus de stelling van Puthagoras geldt, evenals kunnen we de simpele cosinus en sinusregel gebruiken.
We weten dat de lengte l van zo'n stukje voldoet aan:
l^2 = r^2 + (r-k)^2 met k het stukje dat je iedere keer minder hebt.
r-k is gewoon de lengte van je tweede lijnstuk en met de cosinusregel geldt dus: cos(pi/6).r = (r-k) of in het nederlands: de cosinus van onze hoek vermenigvuldigd met de oorspronkelijke straal van de cirkel is de verklijnde straal.
Gezien deze formule kunnen we zeggen:
l^2 = r^2(1+cos(pi/6)^2)
Neem hier de wortel van en je komt uit: l = r/2
De lengte van je lijnstuk is dus gelijk aan de straal gedeeld door 2. (ik noem het de straal om gemakkelijker linken te leggen, deze straal wordt almaar kleiner naarmate je verder gaat)
We weten ook dat de verkorte straal r' gelijk is aan r*cos(pi/6). met r de lengte van de oorspronkelijke straal. In jouw geval zal r dus altijd 4 zijn en r' de verkleinde waarde (r-k).
Om even alles op een rijtje te zetten: de totale lengte van jouw lijnstuk is gelijk aan l + l' + l'' ... en:
l = r/2
l' = r'/2 = r*cos(pi/6)/2
l'' = r''/2 = r'*cos(pi/6)/2 = r.cos(pi/6)^2 /2
...
We merken dat dus de totale som gelijk is aan: r/2 + r.cos(pi/6)/2 +r.cos(pi/6)^2 /2 +r.cos(pi/6)^3 /2 ....
Zetten we r/2 buiten (in jouw geval is dat gewoon 2)dan bekomen we :
ltot = r/2 * (cos(pi/6) + cos(pi/6)^2 + cos(pi/6)^3 + cos(pi/6)^4 ...)
Dit is een rij die ik zelf nog niet kan omzetten in een formule, wieweet kan jij dat wel. We moeten een formule met n aantal termen bekomen en de llimiet nemen voor n gaande naar oneindig.
Ik hoop dat het geholpen heeft, en dat m'n uitleg niet te verwarend is. Tip: schrijf het allemaal eens netjes onder elkaar en stel de stelsels zelf op. ](*,)
Groetjes en een prettige vakantie,
Gert
-
- Berichten: 24.578
Re: Limieten rijen
Verplaatst naar huiswerk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten rijen
Teken het hele probleem eens voor ons uit?
Ik vermoed dat het een somrij gaat worden in de vorm van
Kortom, een cirkel wordt in gedeeld in 12 gelijke delen. Maar waar bevindt zich het `deelpunt`?men verdeelt een cirkel met straal 4 in 12 gelijke delen en men verbindt de deelpunten met het middelpunt
Tja, hier wordt ik verder niet meer wijs uit...uit één van de deelpunten laat men de loodlijn neer op de volgende straal; vanuit het voetpunt van die loodlijn laat men opnieuw een loodlijn neer op de volgende op de volgende straal en men blijft dit proces oneindig doorzetten.
Ik vermoed dat het een somrij gaat worden in de vorm van
\(a + ar + ar^2 + ... ar^n\)
. Maar gezien ik het probleem niet zo volledig snap, kan ik daar verder niet zo veel zinnigs over zeggen...-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten rijen
Is het probleem dit (slechts halve cirkel getekend)?:
- cirkeldelen.GIF (5.96 KiB) 840 keer bekeken
-
- Berichten: 17
Re: Limieten rijen
Zo ziet het probleem er snel geschetst uit:
- Bijlagen
-
- cirkel.png (21.35 KiB) 839 keer bekeken
-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten rijen
Als het mijn geval betreft zou ik zeggen:
Overigens, was het probleem naar mijn mening wel enigszins belabberd beschreven. Dat kan beter, om het zo maar te zeggen. Het kan uiteraard zijn dat je de woorden er niet voor kunt vinden. Maar een tekening doet dan wonderen, zoals eigenlijk bij alle meetkundige problemen.
\(r = 4\)
Probeer maar eens uit.Overigens, was het probleem naar mijn mening wel enigszins belabberd beschreven. Dat kan beter, om het zo maar te zeggen. Het kan uiteraard zijn dat je de woorden er niet voor kunt vinden. Maar een tekening doet dan wonderen, zoals eigenlijk bij alle meetkundige problemen.
-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten rijen
Het probleem is opgelost?
Kom je ook ergens in de buurt van de 15 uit?
Kom je ook ergens in de buurt van de 15 uit?
-
- Berichten: 24.578
Re: Limieten rijen
De vraag van BadeendjeX123 dateert al van 20 juni; het zou goed kunnen dat een reactie nog wel even uitblijft...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten rijen
Snap overigens niet waarom mensen dan een maand na dato nog gaan reageren in een topic. Maar allez.
Tja, niet gezien. Zal dan maar even zelf helpen met de uitwerking (mocht iemand anders ooit nog een soortgelijk probleem hebben en hier nog wat aan hebben):
Uitgaande van de afbeelding (zelfde als die van Blackmisdreavus):
a1 is eenvoudig te berekenen.
De directe formule die hieruit rolt is:
Tja, niet gezien. Zal dan maar even zelf helpen met de uitwerking (mocht iemand anders ooit nog een soortgelijk probleem hebben en hier nog wat aan hebben):
Uitgaande van de afbeelding (zelfde als die van Blackmisdreavus):
- cirkeldelen.GIF (5.96 KiB) 858 keer bekeken
\(a_1 = \mbox{[Overstaande zijde]} = \mbox{[Schuine zijde]} \sin \angle M = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\)
Gezien van al de driehoeken die op deze manier ontstaan er twee hoeken hetzelfde zijn (namelijk één hoek is M en één hoek is recht), kunnen we concluderen dat alle driehoeken gelijkvormig zijn (hh). De lengte van de overstaande zijde heeft dus steeds in verhouding met de aanliggende zijde. We kunnen dus een verkleiningsfactor uitrekenen, laten we deze c noemen:\(c = \frac{\mbox{[Aanliggende hoek]}}{\mbox{[Schuine hoek]}} = \frac{\mbox{[Schuine hoek]}\cos \angle M}{\mbox{[Schuine hoek]}} = \frac{4\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Hieruit volgt de formule:\(a_n = a_{n-1}\cdot c = a_{n-1}\frac{\sqrt{3}}{2},\,a_1 = 2\)
.De directe formule die hieruit rolt is:
\(a_n = a_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}\)
Hiervan moeten we de somrij tot het oneindige hebben:\(S = \sum_{n=1}^{\infty} cr^{k-1} = \frac{c}{1-r}\)
\(c = a_1,\,r=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(S = \frac{2}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{2-\sqrt{3}} \approx 14.928\)
