Complexe getallen

philip

ik heb problemen bij deze twee oefeningen van complexe getallen:

Bepaal alle oplossingen in C van de vgl: z^3+(z*)^3=0 (z*=toegevoegd complex getal

Ik weet niet hoe ik hieraan moet beginnen...

los de volgende vgl op naar z in C en stel de oplossingen voor in het complex vlak : abs((z-2i)/(z-1))=1

ik heb dit geprobeerd door z=a+bi te vervangen, maar als ik dat dan probeer uit te werken,

kom ik niet aan een oplossing... ik heb het gevoel dat er een eenvoudigere manier moet zijn ...

alle hulp is welkom

alvast bedankt,

Philip

EvilBro

Invullen van z=a+bi zou wel een antwoord op moeten leveren. Misschien ken je deze notatie ook:

\(z = R \cdot e^{i \phi}\)

Een plaatje tekenen van het complexe vlak zou ook kunnen helpen.

Safe

Wat betekent in het complexe vlak meetkundig: |z-a|=b, a complex b>=0?

Kies voor a (bv) 1+2i en b=1, maak een tekening.

Wat heeft dit te maken met je tweede opgave?

kotje

Lang geleden dat ik met complexe getallen gewerkt heb.Mij even testen.

Voor eerste kom ik al de punten uit die op de x-as liggen in complexe vlak.

Voor tweede kom ik al de punten uit die op de rechte 2x-4y+3=0 liggen in het complexe vlak. Ik stel z=x+iy

Wat Safe vraagt heeft dit te maken met cirkels in het complexe vlak denk ik.

EvilBro

Voor eerste kom ik al de punten uit die op de x-as liggen in complexe vlak.

Dat is onjuist. Stel z = x (met x een reeel getal ongelijk aan nul), dan geldt z* = x. Dit werkt dus niet.

Westy

EvilBro schreef:Invullen van z=a+bi zou wel een antwoord op moeten leveren. Misschien ken je deze notatie ook:

\(z = R \cdot e^{i \phi}\)
Een plaatje tekenen van het complexe vlak zou ook kunnen helpen.

Als ik voor z=a+bi en voor z*=a-bi invul, met a en b reeel,

dan krijg ik:

-voor de 1ste vgl inderdaad een puur reele vgl (wat logisch is omdat z.z*=|z|^2 ), nl:

a^6 + 3 a^4 b^2 + 3 a^2 b^4 + b^6 = 0, die volgens mij geen oplossingen heeft.

-en voor de 2de vgl eveneens een reele vgl in a en b, die na uitwerken het verband 2a - 4b + 3 = 0 geeft.

Maar wat dit alles echter te betekenen heeft, daar heb ik geen idee van.

Als ik voor

\(z = R \cdot e^{i \phi}\)

invul, kan iemand me dan verder helpen met wat z* dan is?

Meetkundig dan: Ik weet dat de 2de, 3de, 4de, etc... machten van een complex getal op een spiraal liggen, die dus op een gegeven moment dus de reele as moet snijden, misschien heeft dat te maken met de oplossing?

Maar hoe dat kan helpen om een oplossing te vinden, dat zie ik niet.

EvilBro

Je rekent niet uit wat je uit moet rekenen.

\(z^3 = (a+i b)^3 = a^3 + 3 a^2 (i b)^1 + 3 a (i b)^2 + (i b)^3\)

\((z^*)^3 = (a-i b)^3 = a^3 + 3 a^2 (-i b)^1 + 3 a (-i b)^2 + (-i b)^3 = a^3 - 3 a^2 (i b)^1 + 3 a (i b)^2 - (i b)^3\)

Optellen...

\(z^3 + (z^*)^3 = 2 a^3 + 6 a (i b)^2 = 2 a^3 - 6 a b^2\)

Safe

@Westy en philip

Kennen jullie wel of niet de formule z=Re^(it)? Zo ja, wat stellen R en t voor.

Zelfde vraag voor: z=R(cos(t)+i sin(t))

Westy

EvilBro schreef:Je rekent niet uit wat je uit moet rekenen.

\(z^3 = (a+i b)^3 = a^3 + 3 a^2 (i b)^1 + 3 a (i b)^2 + (i b)^3\)
@Westy en philip

Kennen jullie wel of niet de formule z=Re^(it)? Zo ja, wat stellen R en t voor.

Zelfde vraag voor: z=R(cos(t)+i sin(t))
Ja, ik ken die 2 schrijfwijzes: ik weet wat de modulus R en het argument t voorstellen. Maar ik zie (nog) niet hoe dat mij helpt met het oplossen van de gegeven 2 vergelijkingen?

EvilBro

maar wat dan?

Gelijkstellen aan nul en een verband tussen a en b vinden.

Westy

Gelijkstellen aan nul en een verband tussen a en b vinden.

Het begint mij te dagen:

geeft ofwel

\(a=0\)

; ofwel

\(a=\pm \sqrt{3}b\)

eerste geeft de Imaginaire (y)-as, 2de geeft 2 rechtes met rico

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Dit wil zeggen dat 'alle' punten op deze rechtes de oplossing zijn van de gegeven vergelijking.

Dit lijkt inderdaad te kloppen. Bedankt.

Ik probeer zelf wel de 2de vergelijking.

Kan je mij ook nog even op weg zetten hoe dit aan te pakken met de andere notatie

\(z=R e^{i\theta}\)

?

Wat is dan z* in deze notatie?

kotje

Dat is onjuist. Stel z = x (met x een reeel getal ongelijk aan nul), dan geldt z* = x. Dit werkt dus niet.

Ik had opgelost de vgl met een - ertussen. Nu met een plus ertussen kom ik al de punten op de imaginaire as uit?

Safe

Ja, ik ken die 2 schrijfwijzes: ik weet wat de modulus R en het argument t voorstellen. Maar ik zie (nog) niet hoe dat mij helpt met het oplossen van de gegeven 2 vergelijkingen?

Dus je hebt opgeschreven:

(Re^(it))³+(Re^(-it))³=0?

Haakjes wegwerken, dan kan je door 'iets' delen (waarom?).

Opm: als je een bepaalde hint niet begrijpt, mag je dat best zeggen.

TD

Westy schreef:Kan je mij ook nog even op weg zetten hoe dit aan te pakken met de andere notatie
\(z=R e^{i\theta}\)
?

Wat is dan z* in deze notatie?

Meetkundig: z* is de toegevoegd complexe en dat is een spiegeling ten opzichte van de reële as (a+bi wordt a-bi). In polaire notatie blijft de straal (modulus) dus gelijk, de hoek wordt...? Denk aan poolcoördinaten.

Westy

(Re^(it))³+(Re^(-it))³=0?

geeft dus

\(R^3(e^{3it}+e^{-3it})=0\)

aangezien R niet 0 is mag dat dus geschrapt worden,

wat na wat herwerken geeft

\(e^{6it}=-1\)

Hoe moet ik dit interpreteren?

Zie nog niet direct het verband met oplossing uit vorige posts?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Complexe getallen

Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen

Re: Complexe getallen