Springen naar inhoud

Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 13:46

Dag Iedereen,

De volgende opgave krijg ik niet uit.

Wie helpt mee? Merci!

De opgave:

Op hoeveel manieren kunnen we 7 rode ballen en 5 witte ballen verdelen over 3 personen als de eerste persoon niet meer dan 5 ballen krijgt maar wel zeker 2 rode en 1 witte bal krijgt, de tweede persoon zeker 1 rode en 2 witte ballen en de derde persoon zeker 2 rode ballen.

A. 10
B. 31
C. 35
D. 36

Het antwoord volgens het boek:
Verborgen inhoud
Antwoord B: 31 mogelijkheden


Een aantal NBs:
- Dit vraagstuk is zeer vergelijkbaar met deze:
http://www.wetenscha...owtopic=111523
- Mijn excuses bij voorbaat indien dit vraagstuk reeds eerder is opgelost. Zoeken met Google leverde niks op.

Wat ik heb tot nu toe?

- 12 ballen in totaal, 7 rode en 5 witte
- Daarvan ligt het volgende al vast:
2 rode en 1 witte voor persoon 1
1 rode en 2 witte voor persoon 2
2 rode voor persoon 3

Er zijn dus reeds 8 ballen verdeeld (5 rode en 3w). Er zijn dus nog te verdelen:
4 ballen, 2 rode en 2 witte

Deze ballen kun je eerlijk verdelen over de drie personen.

Voor de eerste bal heb je drie mogelijkheden (persoon 1, 2 of 3).
Tweede bal idem dito.
Derde bal heb je nog maar 2 mogelijkheden; persoon 1 zit namelijk aan zijn maximum van 5 ballen.
Vierde bal idem dito.

In totaal 3*3*2*2=36 mogelijkheden.

Dat zou dus gelijk zijn aan antwoord D, wat volgens het antwoordmodel niet juist is.

Wat kan ik allemaal beter doen?

Ik hoor het heel graag.

Ontzettend bedankt voor jullie moeite en interesse!

Vriendelijke groeten,

Fons

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 juni 2010 - 14:18

Je doet twee dingen fout:

1) Je gaat ervan uit dat de ballen genummerd zijn, maar de volgorde is niet van belang.
2) Je gaat er bij je redenering voor bal 3 en 4 van uit dat persoon 1 de eerste twee ballen heeft ontvangen, maar dit is slechts in een aantal gevallen waar.

Mijn suggestie is om eerst te proberen vast te stellen hoeveel mogelijkheden er zijn wanneer de restrictie van 5 ballen voor persoon 1 er niet zou zijn, en vervolgens alle mogelijkheden waarbij persoon 1 meer dan 5 ballen heeft simpelweg wegstrepen.

#3

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 14:22

Ik zou zeggen, het gaat hier volgens mij niet om volgorde. Dus:
- Je bent 2xR, 1xW kwijt voor persoon 1.
- Je bent 1XR, 2xW kwijt voor persoon 2.
- Je bent 2xR kwijt voor persoon 3.
- Kortom: Je hebt nog maar (7 - 5)xR en (5 - 3)xW = 2xR en 2xW.

Op hoeveel manieren kun jij twee rode en twee witten knikkers verdelen over drie personen, waarbij persoon 1 er maximaal 2 krijgt? Alles verdelen, afhalen wat niet geldig is.

Je hoeft alleen maar voor de eerste twee personen uit te schrijven. De derde persoon krijgt automatisch wat over is... Dus uitschrijven kan heel goed.

Veranderd door JWvdVeer, 22 juni 2010 - 14:27


#4

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 15:03

Allereerst beiden zeer hartelijk bedankt voor de medewerking; ik waardeer dit zeer!

Je doet twee dingen fout:

1) Je gaat ervan uit dat de ballen genummerd zijn, maar de volgorde is niet van belang.


Hmm, ik doe dit blijkbaar onbewust / kunt u mij vertellen waarom ik in bovenstaande met genummerde ballen werk? Wat is het verschil met niet genummerde ballen, qua resultaat natuurlijk?


Op hoeveel manieren kun jij twee rode en twee witten knikkers verdelen over drie personen, waarbij persoon 1 er maximaal 2 krijgt? Alles verdelen, afhalen wat niet geldig is.


Zonder restrictie:
4*4*4=64 manieren

Met restrictie:
4*4*2=32 manieren

Hiervan is er 1 niet geschikt, namelijk ....?

Ik hoor het heel graag ;).

Super bedankt alleszins!

Fons

#5

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 juni 2010 - 15:18

Je kunt het volgende bedenken of je met genummerde ballen werkt of niet:

Stel, je zou twee rode ballen hebben, die je over drie personen kunt verdelen. Volgens jouw methode heb je voor bal 1 drie mogelijkheden en voor bal 2 drie mogelijkheden, dus in totaal 3*3=9 mogelijkheden. Echter, de mogelijkheid "persoon 1 krijgt de eerste bal en persoon 2 krijgt de tweede bal" is identiek aan de mogelijkheid "persoon 2 krijgt de eerste bal en persoon 1 krijgt de tweede bal", omdat de ballen gelijk zijn. Indien de ballen genummerd waren, dan zijn de twee bovenstaande mogelijkheden niet gelijk, en dan zou het antwoord 9 correct zijn.

Dit is ook de reden dat je aanpak in je tweede post (4*4*4=64 mogelijkheden zonder restrictie) onjuist is, er zitten een aantal mogelijkheden dubbel in verwerkt.

#6

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 15:33

Je kunt het ook gewoon uitschrijven:

Persoon 1 kan nog maximaal twee ballen krijgen. Hij krijgt dus:
RR, WW, RW, R, W en -.

Vervolgens schrijf je de bijbehorende mogelijkheden voor persoon 2 op
Verborgen inhoud

RR: WW, W, - (3)
WW: RR, R, - (3)
RW: RW, W, R, - (3)
R: WWR, WR, WW, W, R, - (6)
W: RRW, RW, RR, R, W, - (6)
-: WWRR, WRR, WWR, WR, RR, WW, R, W, - (9)
LaTeX
Ergens een telfoutje gemaakt, maar waar...?

#7

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 15:38

Je kunt het volgende bedenken of je met genummerde ballen werkt of niet:

Stel, je zou twee rode ballen hebben, die je over drie personen kunt verdelen. Volgens jouw methode heb je voor bal 1 drie mogelijkheden en voor bal 2 drie mogelijkheden, dus in totaal 3*3=9 mogelijkheden. Echter, de mogelijkheid "persoon 1 krijgt de eerste bal en persoon 2 krijgt de tweede bal" is identiek aan de mogelijkheid "persoon 2 krijgt de eerste bal en persoon 1 krijgt de tweede bal", omdat de ballen gelijk zijn. Indien de ballen genummerd waren, dan zijn de twee bovenstaande mogelijkheden niet gelijk, en dan zou het antwoord 9 correct zijn.

Dit is ook de reden dat je aanpak in je tweede post (4*4*4=64 mogelijkheden zonder restrictie) onjuist is, er zitten een aantal mogelijkheden dubbel in verwerkt.


Oke.

Dus als alle ballen verschillend zijn, hebben wij 3*3=9 manieren om hen te verdelen.

Als alle ballen hetzelfde zijn, hebben wij 4 boven 2 / 4nCr2 = 6 manieren om hen te verdelen?

Klopt dit?

Ben benieuwd!

Merci voor de hulp!

Fons

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 15:40

Ja, dat klopt. Je kunt op 6 manieren aan persoon één delen.

#9

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 15:53

Je kunt het ook gewoon uitschrijven:

Persoon 1 kan nog maximaal twee ballen krijgen. Hij krijgt dus:
RR, WW, RW, R, W en -.

Vervolgens schrijf je de bijbehorende mogelijkheden voor persoon 2 op

Verborgen inhoud

RR: WW, W, - (3)
WW: RR, R, - (3)
RW: RW, W, R, - (4)
R: WWR, WR, WW, W, R, - (6)
W: RRW, RW, RR, R, W, - (6)
-: WWRR, WRR, WWR, WR, RR, WW, R, W, - (9)
LaTeX


Oke, met persoon 1 ben ik inmiddels helemaal mee. (Dat is nu zelfs opeens super helder geworden ;))

Persoon 2 begint te komen. Namelijk: wij leggen iets vast voor persoon 1, en beschouwen dan pas persoon 2.

Paar kanttekeningen:
- Alle opties optellen geeft 31 manieren. (En dus het juiste antwoord.) Maar waar zijn nu de 6 eerder gevonden manieren naar toe? Duidelijk 'verwerkt' in het tweede gedeelte; ik zie alleen niet hoe. Wie helpt?
- Ik merk dat ik bij het uitschrijven veel te vaak opties vergeet. Bestaan hier nog trucjes voor?

Merci!!

Fons

#10

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 16:28

Je hebt eerst bepaald hoeveel manieren je persoon één kan delen. Dat blijken er zes te zijn. Nu ga je voor die zes groepen bepalen hoeveel er in elke groep zitten. Na afloop hoef je helemaal niet meer te weten dat het zes groepen waren.

Stel je hebt een school met leerlingen. Je doet dat per groep leerlingen. Stel dat blijkt dat er in alle vier de groepen 30 leerlingen zitten. Dan snap jij toch ook dat het 4 * 30 is (en dat daar dus die 4 in zit). Ofwel: 30 + 30 + 30 + 30 = 120.

Bij ons was het 3x3 + 2x6 + 1x9 (3 + 2 + 1 = 6).

Overigens kom ik op de één of andere manier nog maar aan dertig opties. Er is één optie nog niet genoemd. Ik weet nog niet welke. Jij wel? Jij komt op de één of andere manier op 31 uit..., dus...

[EDIT]:
O, zie al dat ik een telfout heb gemaakt:

RW: RW, W, R, - (3)

Moet natuurlijk zijn: RW: RW, W, R, - (4)
En dan volgt dus: 2x3 + 1x4 + 2x6 + 1x9 = 31. (2x2 + 2x1 = 6)

Veranderd door JWvdVeer, 22 juni 2010 - 16:30


#11

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 16:40

Oke, helder!!

Uhm, ik kom ook aan onderstaande uit. U had zich verteld in de derde rij (moet 4 ipv 3) zijn. Dan klopt het wel.

EDIT: Daar bent u dus ook al achter ;).

De opties zijn dus:

RR: WW, W, - (3)
WW: RR, R, - (3)
RW: RW, W, R, - (4)
R: WWR, WR, WW, W, R, - (6)
W: RRW, RW, RR, R, W, - (6)
-: WWRR, WRR, WWR, WR, RR, WW, R, W, - (9)

Nog een finale vraag:
Indien de ballen genummerd waren, kunnen we dit dus op 3*3=9 manieren doen. Klopt dat?

Hoor het graag!

Merci!

Fons

Veranderd door Fons, 22 juni 2010 - 16:41


#12

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 juni 2010 - 16:52

Wat bedoel je met "dit"? Mijn voorbeeldje met twee ballen wel, maar dit voorbeeld met vier ballen niet. Bedenk altijd dat je bij genummerde ballen minstens evenveel mogelijkheden hebt als bij ongenummerde ballen, dus met vier genummerde ballen moet je minstens 31 mogelijkheden vinden.

#13

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 17:04

Bij vier genummerde ballen, heb je beschikking over 3*3*3*3=81 mogelijkheden?

Correct?

Merci!

Fons

#14

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 juni 2010 - 17:10

Correct indien persoon 1 meer dan 5 ballen mocht hebben. Nu moet je er mogelijkheden van af trekken.

#15

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 juni 2010 - 18:15

Merci voor de bevestiging.

Ok. Ik begrijp je vraag, maar zie wederom niet welke dit zijn.

Zijn dit er 8 (2*4)?

Merci!

Fons





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures