Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 165

Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Dag Iedereen,

De volgende opgave krijg ik niet uit.

Wie helpt mee? Merci!

De opgave:

Op hoeveel manieren kunnen we 7 rode ballen en 5 witte ballen verdelen over 3 personen als de eerste persoon niet meer dan 5 ballen krijgt maar wel zeker 2 rode en 1 witte bal krijgt, de tweede persoon zeker 1 rode en 2 witte ballen en de derde persoon zeker 2 rode ballen.

A. 10

B. 31

C. 35

D. 36

Het antwoord volgens het boek:

Verborgen inhoud
Antwoord B: 31 mogelijkheden


Een aantal NBs:

- Dit vraagstuk is zeer vergelijkbaar met deze:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=111523

- Mijn excuses bij voorbaat indien dit vraagstuk reeds eerder is opgelost. Zoeken met Google leverde niks op.

Wat ik heb tot nu toe?

- 12 ballen in totaal, 7 rode en 5 witte

- Daarvan ligt het volgende al vast:

2 rode en 1 witte voor persoon 1

1 rode en 2 witte voor persoon 2

2 rode voor persoon 3

Er zijn dus reeds 8 ballen verdeeld (5 rode en 3w). Er zijn dus nog te verdelen:

4 ballen, 2 rode en 2 witte

Deze ballen kun je eerlijk verdelen over de drie personen.

Voor de eerste bal heb je drie mogelijkheden (persoon 1, 2 of 3).

Tweede bal idem dito.

Derde bal heb je nog maar 2 mogelijkheden; persoon 1 zit namelijk aan zijn maximum van 5 ballen.

Vierde bal idem dito.

In totaal 3*3*2*2=36 mogelijkheden.

Dat zou dus gelijk zijn aan antwoord D, wat volgens het antwoordmodel niet juist is.

Wat kan ik allemaal beter doen?

Ik hoor het heel graag.

Ontzettend bedankt voor jullie moeite en interesse!

Vriendelijke groeten,

Fons

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Je doet twee dingen fout:

1) Je gaat ervan uit dat de ballen genummerd zijn, maar de volgorde is niet van belang.

2) Je gaat er bij je redenering voor bal 3 en 4 van uit dat persoon 1 de eerste twee ballen heeft ontvangen, maar dit is slechts in een aantal gevallen waar.

Mijn suggestie is om eerst te proberen vast te stellen hoeveel mogelijkheden er zijn wanneer de restrictie van 5 ballen voor persoon 1 er niet zou zijn, en vervolgens alle mogelijkheden waarbij persoon 1 meer dan 5 ballen heeft simpelweg wegstrepen.

Berichten: 1.116

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Ik zou zeggen, het gaat hier volgens mij niet om volgorde. Dus:

- Je bent 2xR, 1xW kwijt voor persoon 1.

- Je bent 1XR, 2xW kwijt voor persoon 2.

- Je bent 2xR kwijt voor persoon 3.

- Kortom: Je hebt nog maar (7 - 5)xR en (5 - 3)xW = 2xR en 2xW.

Op hoeveel manieren kun jij twee rode en twee witten knikkers verdelen over drie personen, waarbij persoon 1 er maximaal 2 krijgt? Alles verdelen, afhalen wat niet geldig is.

Je hoeft alleen maar voor de eerste twee personen uit te schrijven. De derde persoon krijgt automatisch wat over is... Dus uitschrijven kan heel goed.

Berichten: 165

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Allereerst beiden zeer hartelijk bedankt voor de medewerking; ik waardeer dit zeer!
physicalattraction schreef:Je doet twee dingen fout:

1) Je gaat ervan uit dat de ballen genummerd zijn, maar de volgorde is niet van belang.
Hmm, ik doe dit blijkbaar onbewust / kunt u mij vertellen waarom ik in bovenstaande met genummerde ballen werk? Wat is het verschil met niet genummerde ballen, qua resultaat natuurlijk?
Op hoeveel manieren kun jij twee rode en twee witten knikkers verdelen over drie personen, waarbij persoon 1 er maximaal 2 krijgt? Alles verdelen, afhalen wat niet geldig is.
Zonder restrictie:

4*4*4=64 manieren

Met restrictie:

4*4*2=32 manieren

Hiervan is er 1 niet geschikt, namelijk ....?

Ik hoor het heel graag ;) .

Super bedankt alleszins!

Fons

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Je kunt het volgende bedenken of je met genummerde ballen werkt of niet:

Stel, je zou twee rode ballen hebben, die je over drie personen kunt verdelen. Volgens jouw methode heb je voor bal 1 drie mogelijkheden en voor bal 2 drie mogelijkheden, dus in totaal 3*3=9 mogelijkheden. Echter, de mogelijkheid "persoon 1 krijgt de eerste bal en persoon 2 krijgt de tweede bal" is identiek aan de mogelijkheid "persoon 2 krijgt de eerste bal en persoon 1 krijgt de tweede bal", omdat de ballen gelijk zijn. Indien de ballen genummerd waren, dan zijn de twee bovenstaande mogelijkheden niet gelijk, en dan zou het antwoord 9 correct zijn.

Dit is ook de reden dat je aanpak in je tweede post (4*4*4=64 mogelijkheden zonder restrictie) onjuist is, er zitten een aantal mogelijkheden dubbel in verwerkt.

Berichten: 1.116

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Je kunt het ook gewoon uitschrijven:

Persoon 1 kan nog maximaal twee ballen krijgen. Hij krijgt dus:

RR, WW, RW, R, W en -.

Vervolgens schrijf je de bijbehorende mogelijkheden voor persoon 2 op

Verborgen inhoud
RR: WW, W, - (3)

WW: RR, R, - (3)

RW: RW, W, R, - (3)

R: WWR, WR, WW, W, R, - (6)

W: RRW, RW, RR, R, W, - (6)

-: WWRR, WRR, WWR, WR, RR, WW, R, W, - (9)
\(3x3 + 2x6 + 1x9 = 30\)
Ergens een telfoutje gemaakt, maar waar...?

Berichten: 165

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

physicalattraction schreef:Je kunt het volgende bedenken of je met genummerde ballen werkt of niet:

Stel, je zou twee rode ballen hebben, die je over drie personen kunt verdelen. Volgens jouw methode heb je voor bal 1 drie mogelijkheden en voor bal 2 drie mogelijkheden, dus in totaal 3*3=9 mogelijkheden. Echter, de mogelijkheid "persoon 1 krijgt de eerste bal en persoon 2 krijgt de tweede bal" is identiek aan de mogelijkheid "persoon 2 krijgt de eerste bal en persoon 1 krijgt de tweede bal", omdat de ballen gelijk zijn. Indien de ballen genummerd waren, dan zijn de twee bovenstaande mogelijkheden niet gelijk, en dan zou het antwoord 9 correct zijn.

Dit is ook de reden dat je aanpak in je tweede post (4*4*4=64 mogelijkheden zonder restrictie) onjuist is, er zitten een aantal mogelijkheden dubbel in verwerkt.
Oke.

Dus als alle ballen verschillend zijn, hebben wij 3*3=9 manieren om hen te verdelen.

Als alle ballen hetzelfde zijn, hebben wij 4 boven 2 / 4nCr2 = 6 manieren om hen te verdelen?

Klopt dit?

Ben benieuwd!

Merci voor de hulp!

Fons

Berichten: 1.116

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Ja, dat klopt. Je kunt op 6 manieren aan persoon één delen.

Berichten: 165

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

JWvdVeer schreef:Je kunt het ook gewoon uitschrijven:

Persoon 1 kan nog maximaal twee ballen krijgen. Hij krijgt dus:

RR, WW, RW, R, W en -.

Vervolgens schrijf je de bijbehorende mogelijkheden voor persoon 2 op

Verborgen inhoud
RR: WW, W, - (3)

WW: RR, R, - (3)

RW: RW, W, R, - (4)

R: WWR, WR, WW, W, R, - (6)

W: RRW, RW, RR, R, W, - (6)

-: WWRR, WRR, WWR, WR, RR, WW, R, W, - (9)
\(3x3 + 2x6 + 1x9 = 31\)
Oke, met persoon 1 ben ik inmiddels helemaal mee. (Dat is nu zelfs opeens super helder geworden ;) )

Persoon 2 begint te komen. Namelijk: wij leggen iets vast voor persoon 1, en beschouwen dan pas persoon 2.

Paar kanttekeningen:

- Alle opties optellen geeft 31 manieren. (En dus het juiste antwoord.) Maar waar zijn nu de 6 eerder gevonden manieren naar toe? Duidelijk 'verwerkt' in het tweede gedeelte; ik zie alleen niet hoe. Wie helpt?

- Ik merk dat ik bij het uitschrijven veel te vaak opties vergeet. Bestaan hier nog trucjes voor?

Merci!!

Fons

Berichten: 1.116

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Je hebt eerst bepaald hoeveel manieren je persoon één kan delen. Dat blijken er zes te zijn. Nu ga je voor die zes groepen bepalen hoeveel er in elke groep zitten. Na afloop hoef je helemaal niet meer te weten dat het zes groepen waren.

Stel je hebt een school met leerlingen. Je doet dat per groep leerlingen. Stel dat blijkt dat er in alle vier de groepen 30 leerlingen zitten. Dan snap jij toch ook dat het 4 * 30 is (en dat daar dus die 4 in zit). Ofwel: 30 + 30 + 30 + 30 = 120.

Bij ons was het 3x3 + 2x6 + 1x9 (3 + 2 + 1 = 6).

Overigens kom ik op de één of andere manier nog maar aan dertig opties. Er is één optie nog niet genoemd. Ik weet nog niet welke. Jij wel? Jij komt op de één of andere manier op 31 uit..., dus...

[EDIT]:

O, zie al dat ik een telfout heb gemaakt:
RW: RW, W, R, - (3)
Moet natuurlijk zijn: RW: RW, W, R, - (4)

En dan volgt dus: 2x3 + 1x4 + 2x6 + 1x9 = 31. (2x2 + 2x1 = 6)

Berichten: 165

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Oke, helder!!

Uhm, ik kom ook aan onderstaande uit. U had zich verteld in de derde rij (moet 4 ipv 3) zijn. Dan klopt het wel.

EDIT: Daar bent u dus ook al achter ;) .

De opties zijn dus:

RR: WW, W, - (3)

WW: RR, R, - (3)

RW: RW, W, R, - (4)

R: WWR, WR, WW, W, R, - (6)

W: RRW, RW, RR, R, W, - (6)

-: WWRR, WRR, WWR, WR, RR, WW, R, W, - (9)

Nog een finale vraag:

Indien de ballen genummerd waren, kunnen we dit dus op 3*3=9 manieren doen. Klopt dat?

Hoor het graag!

Merci!

Fons

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Wat bedoel je met "dit"? Mijn voorbeeldje met twee ballen wel, maar dit voorbeeld met vier ballen niet. Bedenk altijd dat je bij genummerde ballen minstens evenveel mogelijkheden hebt als bij ongenummerde ballen, dus met vier genummerde ballen moet je minstens 31 mogelijkheden vinden.

Berichten: 165

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Bij vier genummerde ballen, heb je beschikking over 3*3*3*3=81 mogelijkheden?

Correct?

Merci!

Fons

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.088

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Correct indien persoon 1 meer dan 5 ballen mocht hebben. Nu moet je er mogelijkheden van af trekken.

Berichten: 165

Re: Rode en witte ballen verdelen; hoeveel manieren?

Merci voor de bevestiging.

Ok. Ik begrijp je vraag, maar zie wederom niet welke dit zijn.

Zijn dit er 8 (2*4)?

Merci!

Fons

Reageer