Springen naar inhoud

Minima/maxima van een functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

klaasde

    klaasde


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 juni 2010 - 14:36

Ik maakte een oefening waarin gevraagd werd naar de extrema (eventuele minima/maxima):

Gegeven: LaTeX
Gevraagd: onderzoek het bestaan van extrema en ga na of het minima of maxima zijn.

Ik heb gevonden en gecontroleerd (door te bepalen waar de eerste afgeleide nul wordt): een extremum x = -1.
Om te bepalen of het een minimum/maximum is, wilde ik de tweede afgeleide gebruiken, (LaTeX ) namelijk om te zien of de functie daalt dan stijgt in de punten vóór x = -1 en na x = -1.
Het probleem is dat bij deze tweede afgeleide x onder de wortel staat, het maakt dus weinig uit welk getal je invult, door de wortel kan de uitkomst altijd zowel positief als negatief kan zijn. Op mijn GRT zag ik dat er zich een maximum in -1 bevindt, maar zijn er andere methodes -zonder GRT- om uit te zoeken of het een maximum dan een minimum is?

groeten
klaasde

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 29 juni 2010 - 14:53

f' bepaalt stijgen en dalen dat moet afdoende zijn om de aard van een extreem te bepalen.
Hier heb je te maken met een max, zonder verder onderzoek. Enig idee waarom?

#3

klaasde

    klaasde


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 juni 2010 - 15:13

Ok, nu zie ik het. Ik vergiste me, de tweede afgeleide is om te bepalen of een functie hol of bol is. De eerste afgeleide is natuurlijk om te bepalen of een functie stijgt of daalt. Door functiewaarden als -1/5, 0, 1, 2 in te vullen, kan je ahv het teken van de eerste afgeleide zien of de functie stijgt of daalt vóór of na x = -1. Als bijvoorbeeld 3 ingevuld wordt, is het teken van f'(x) negatief, en daalt de functie dus in 3. x = -1 is dus een maximum. Dat deel begrijp ik.

Maar toch kun je, dacht ik, volgens deze methode niet bepalen of de functie hol of bol is in bijvoorbeeld x = 3. Daarvoor voer je 3 in in de tweede afgeleide, en kom je uit op LaTeX . De wortel uit 729 geeft zowel 27 als -27, en dat bepaalt het uiteindelijke teken van f''(x), waardoor je uiteindelijk niet weet of de functie daar hol of bol is. Dat was dan ook mijn vraag.
Heb ik verkeerd afgeleid, of maak ik weer een redeneringsfout?

Klaasde

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 29 juni 2010 - 15:29

De vkw uit een getal is per definitie nooit negatief, dat zou je moeten weten.

#5

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 juni 2010 - 15:54

Ik vergiste me, de tweede afgeleide is om te bepalen of een functie hol of bol is. De eerste afgeleide is natuurlijk om te bepalen of een functie stijgt of daalt.

Inderdaad. De eerste afgeleide vertelt jou wanneer de functie stijgt of daalt. De maxima en minima van de originele functie zijn in de eerste afgeleide 0.
De tweede afgeleide bepaal je omslagpunten mee. Dus stel je een S-grafiek voor: met de tweede afgeleide kun je dan bepalen wanneer toenemend steigend overgaat in afnemend stijgend en vice versa.

Wanneer een functie hol is zul je zien dat de eerste afgeleide negatief begint, op den duur door de X-as heenschiet en daarna positief blijft op het traject waarvan jij wilt weten of het bol of hol is. Bij bol is dit uiteraard omgekeerd: de afgeleide begint positief, gaat door de X-as en eindigt negatief.

De vkw uit een getal is per definitie nooit negatief, dat zou je moeten weten.

Bijdehandmodus: tenzij het getal complex is ;)

#6

klaasde

    klaasde


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 juni 2010 - 18:46

Ik weet dat de wortel uit een negatief getal binnen de reële getallen geen mogelijkheid is, dat speelt dan ook geen enkele rol in de vraag die ik stelde. Ik heb het over de wortel uit +729, die twee uitkomsten geeft: -27 en 27. Als je voor -27 kiest krijg je voor f''(3) een positief getal, namelijk 1/27 (bol). Als je daarentegen voor 27 kiest krijgt je een negatief getal: -1/27 (hol). Met die methode kun je dus niet (?) weten of de functie daar hol of bol is? Dat was namelijk mijn vraag.
Ik hoop dat ik duidelijk geweest ben, en niet iets over het hoofd zie?

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 29 juni 2010 - 20:06

Daar heb je antwoord op gekregen, maar ok ...
√a>=0 voor alle a>=0, dus √9 kan nooit -3 zijn. Dit is een definitie!

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 juni 2010 - 22:57

Je moet naar je originele functie kijken. Stel dat je hebt:
LaTeX
Dan vind je bij LaTeX de oplossingen LaTeX of LaTeX . Dat ligt gewoon heel simpel aan het feit dat LaTeX zowel voor negatieve als voor positieve waarden allebei een positief getal geeft (in dit geval dus 3).

Echter, nu hebben we te maken met het functievoorschrift LaTeX waarbij dit helemaal niet speelt. Om deze reden bestaat deze functie ook enkel maar op het interval LaTeX . Met dit functievoorschrift hoef je dus helemaal geen rekening te houden met mogelijke dubbele uitkomsten voor x bij een gegeven waarde voor f(x) (maak de eerste afgeleide maar eens, dan zie je dat deze enkel afnemend stijgend is, wat dus uitsluit dat er meerdere waarden voor één en dezelfde x gevonden wordt. Anders zou de functie één of meerdere maxima en/of minima kennen).

Ik heb het over de wortel uit +729, die twee uitkomsten geeft: -27 en 27.

Uit een wortel komen per definitie enkel positieve antwoorden. Maar als je weet hoe het getal onder de wortel ontstaan is, kan het wel zijn dat er meerdere x-waarden gevonden worden. Stel dat je een sinusfunctie onder de wortel hebt staan, dan heb je oneindig veel oplossingen. Heb je daarentegen enkel een oneven macht onder de wortel staan, dan weet je zeker dat je maar één oplossing gaat vinden. Het is dus niet zozeer afhankelijk van de waarde die de wortel heeft gekregen, maar meer van wat er onder de wortel staat. In dit geval is het een lineaire vergelijking onder de wortel en ga jij dus voor alle vierkantswortels slechts één uitkomst vinden.

Veranderd door JWvdVeer, 29 juni 2010 - 23:04


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 juni 2010 - 08:51

Ik heb de "zijdiscussie" er maar even uitgehaald, dat maakt het geheel terug wat overzichtelijker.

Echter, nu hebben we te maken met het functievoorschrift LaTeX

waarbij dit helemaal niet speelt. Om deze reden bestaat deze functie ook enkel maar op het interval LaTeX .

Alles vanaf -3/2 is geen probleem in plaats van 3/2.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juni 2010 - 12:06

Alles vanaf -3/2 is geen probleem in plaats van 3/2.

Inderdaad, klein foutje.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures