Springen naar inhoud

Raaklijn aan een kromme


  • Log in om te kunnen reageren

#1

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2010 - 20:26

De vraag is de volgende :
Vind de singuliere punten en de raaklijnen in deze punten voor elk van de volgende krommen :
Oefening 1
Allereerst bereken ik de punten waarvoor zowel de partiëel afgeleide naar x als de partiëel afgeleide naar y gelijk is aan nul.
LaTeX en LaTeX voor LaTeX
P ligt op de kromme dus P is een singulier punt van F. De multipliciteit van dit singulier punt is 4 dus om de raaklijnen te vinden moet het deel van het voorschrift van de kromme van de vierde graad ontbonden worden. Dit deel is het hele voorschrift van de curve en dus LaTeX . Deze veelterm is echter niet te ontbinden.
Mijn vraag is nu, wil dit zeggen dat er geen raaklijn is in LaTeX of trek ik de verkeerde conclusie?


Oefening 2
Hier heb ik een gelijkaardig probleem. Opnieuw ga ik eerst op zoek naar de singuliere punten. Dit is in dit geval LaTeX . Omdat het punt niet het punt (0,0) is doe ik eerst een verschuiving :
LaTeX
Van deze nieuwe kromme is LaTeX singulier punt met multipliciteit 2 dus kijken we naar het deel van de tweedegraad nl. LaTeX . Dit is opnieuw niet te ontbinden. Wil dit opnieuw zeggen dat er geen raaklijn is aan F in LaTeX ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 06 juli 2010 - 22:15

Ik weet niet zeker, maar betekent het feit dat alle drie functies symmetrisch zijn in x en y niet, dat de raaklijn in (0,0) altijd x=y is?

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 juli 2010 - 23:16

Hier staan geen krommen, maar functies van twee veranderlijken. Of bedoel je misschien krommen met impliciete vergelijking F(x,y) = 0, waarbij die F twee keer gegeven is? Die "=0" is dan wel essentieel...

Voor de eerste:

LaTeX

Voor de tweede vind ik meer dan één singulier punt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2010 - 08:13

Het zijn inderdaad impliciete vergelijkingen van de krommen.

Nu zie ik de ontbinding van de eerste ook, nl. LaTeX . Stom dat ik dat over het hoofd gezien had. Maar deze ontbinding heeft toch nog steeds geen stukken van de eerste graad?

Voor die tweede vond ik ook wel meerdere gemeenschappelijke nulpunten van de twee partieel afgeleiden, maar op die ene na lagen die niet op de kromme. De nulpunten die ik uitkwam waren de volgende :

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juli 2010 - 09:11

Het is mij niet duidelijk wat jouw methode precies is om uiteindelijk de raaklijn op te stellen, ik zie daardoor het nu niet in van die ontbindingen over de complexe getallen.

Mijn bedoeling van die ontbinding was te tonen dat die eerste functie een som is van kwadraten en dus nooit negatief kan zijn. De som is enkel 0 voor x = y = 0, dus (0,0) is het enige punt van die kromme!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 juli 2010 - 10:51

De eerste kromme bestaat uit één punt.
De tweede heeft alleen (1,1) als singulier punt, de raaklijnen zijn evenwijdig de assen.

#7

LiesbethDN

    LiesbethDN


  • >25 berichten
  • 96 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2010 - 12:27

Stom van mij om daar niet aan te denken dat (0,0) niet alleen het singuliere punt was, maar ook het enige punt.

Voor het invullen van de opdrachten moet ik een boek volgen (Algebraic Curves van W.Fulton, hoofdstuk 3) en daar worden de raaklijnen op deze manier berekend dus heb ik het voor het uitvoeren van de opdrachten ook maar zo gedaan.

In ieder geval, ik denk dat ik er nu wel geraak. Bedankt voor de hulp!

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 juli 2010 - 12:48

Oké, graag gedaan & succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures