Getallen op de imaginaire as

Tempus

Het is me duidelijk dat je vergelijkingen als Re(z)=Im(z) gewoon kan opvatten als x=y als je de grafiek van zo'n vergelijking wil tekenen in het complexe vlak. Maar wat ik niet begrijp is dat er op de imaginaire as getallen in de vorm van b*i staan terwijl geldt dat Im(z)=b. Hoe kan je uit een vergelijking met alleen reële getallen dan toch een grafiek met imaginaire getallen krijgen?

TD

Als je in het complexe vlak de reële as gewoon de "x-as" noemt en de imaginaire as gewoon de "y-as", dan zijn de oplossingen van de vergelijking Re(z) = Im(z) inderdaad alle punten van de lijn x = y. Stel immers z = x+iy, dan is Re(z) = x en Im(z) = y (en niet iy!). Het imaginair deel van een complex getal, is dus een reëel getal!

Tempus

Dat dacht ik ook. Maar als je dan de grafiek wil tekenen dan krijg bijvoorbeeld bij Re(z)=1 niet Im(z)=1 maar Im(z)=i, omdat op de imaginaire as alleen maar imaginaire getallen staan. Maar dat komt niet naar voren in de vergelijking.

TD

Im(z) kan niet i zijn, Im(z) is reëel. Misschien moet je je vraag eens anders formuleren, want ik snap je probleem niet goed.

Een complex getal z = x+iy bestaat uit een reëel deel (x) en een imaginair deel (y). Je kan complexe getallen voorstellen als punten in het vlak. Alle complexe getallen die voldoen aan een vergelijking, zoals Im(z) = Re(z), kan je dan weergeven in dat vlak. In dit geval zijn dat alle punten die liggen op de lijn met vergelijking y = x. Elk punt op die lijn stemt overeen met een complex getal, maar reëel en imaginair deel zijn ("gewone") reële getallen.

Tempus

Op deze afbeelding zijn een aantal grafieken waaronder Re(z)=Im(z) te zien.

: complex.png (25.55 KiB) 362 keer bekeken

Te zien is dat bij deze vergelijking bij Re(z)=1 geldt dat Im(z)=i en niet Im(z)=1 zoals je zou verwachten.

TD

Te zien is dat bij deze vergelijking bij Re(z)=1 geldt dat Im(z)=i en niet Im(z)=1 zoals je zou verwachten.

Nee, dat is hoogstens verwarrende notatie op die grafiek. Op de verticale as (de "imaginaire as" genoemd), lees je (in deze vorm!) niet het imaginair deel af (y uit x+iy), maar iy.

Tempus

Is de vergelijking Re(z)=Im(z) dan niet fout? De juiste vergelijking is toch Re(z)=Im(z)*i als je uitgaat van de grafiek.

TD

De vergelijking Im(z) = Re(z) (met z complex, z = x+iy) heeft als oplossing alle complexe getallen met gelijk reëel en imaginair deel, dus x = y. Dat heeft op zich niets met grafieken te maken. Je kan die oplossingen wel grafisch voorstellen en dat is hier gedaan.

In jouw grafiek is de "Im" in Im(z) ("imaginair deel van z") iets anders dan het label "im" ("imaginaire as") op de verticale as. Je zou ook Im(z) op de verticale as kunnen zetten, dan moeten alle i'tjes daar weg.

Tempus

Oké dan snap ik het. Inderdaad een verwarrende notatie, en dat nota bene in een schoolboek.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Getallen op de imaginaire as

Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as

Re: Getallen op de imaginaire as