Springen naar inhoud

Sn voortgebracht door een cykel en een transpositie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2005 - 17:25

hallo

ik ben overal aan het zoeken op internet naar iemand die me kan helpen met mijn 'vermoeden' over groepentheorie

zit hier iemand die veel weet van groepentheorie, meer bepaald van de permutatiegroep Sn

mijn vraag is , wanneer brengen (1 2 3 .... n) en ( 1 k )
met k in {2,...,n} de volledige groep Sn voort (dus de n! permutaties op n symbolen)

mijn vermoeden is dat k-1 en n onderling ondeelbaar moeten zijn

maar ik kan alleen bewijzen dat als ze idd onderling ondeelbaar zijn, de volledige groep wordt voortgebracht

is hier iemand die raad weet?

in elk geval heeft enig geŽxperimenteer in maple mijn vermoeden een beetje bevestigd al

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 augustus 2005 - 16:17

mss handig hier om uw bewijs te leveren? finja, we kunne dan zegge waar het niet zou werken bij wel deelbaar... finja, zult gij mss ook wel niet kunnen.

#3

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 augustus 2005 - 19:11

ok dan

eerst een klein beetje afspraken : ik lees mijn permutaties van links naar rechts

en met a^g bedoel ik g^(-1)*a*g

heel specifiek is (a b )^(a c ) = (a c ) (a b ) (a c ) = (b c )

stel nu dat je beschikt over ( 1 k) met k-1 copriem met n

neem dan de k-de macht van de cykel (1 2 ... n)
dit zal een cykel zijn, immers, als je een element van orde n, tot een macht t doet, met t en n copriem , krijg je element met dezelfde orde n , dus weer een cykel
deze cykel zal er dan zo uitzien (1 k ....... )

door hernummering van symbolen volstaat het dus om te bewijzen dat (1 2 ...n) en (1 2 ) de volledige groep voortbrengen

noem het eerste x en het tweede y

nu zit y^x ook in de groep en dat is ( 23)
maar dan zit (23)^x ook in de groep en dat is ( 3 4)
zo kan jz helemaal rondgaan
maar we weten dat als je (a b) en (ac ) hebt, je ook ( b c)
zo heb je ook ( 1 3 ) (2 4),enz... en je ziet snel in dat je elke transpositie hebt

daar de transposities de groep Sn voortbrengen, is dus inderdaad de totale groep voortgebracht

#4


  • Gast

Geplaatst op 30 augustus 2005 - 10:11

Interessant! Je probeert dus onderstaande equivalentierelatie te bewijzen:

k-1 en n onderling ondeelbaar <=> (1 2 3 ... n) en (1 k) brengen Sn voort
(k in {2,3, ... , n})

Ik kan geen bewijs geven, daarvoor heb ik gewoon te weinig Algebra gezien. Ik kan wel helpen jou een duidelijk bewijs te laten schrijven:

De eerste implicatie (=>) denk je te hebben. Mijn opmerkingen:

o Het is welbekend dat <(1 2), (1 2 3 ... n)> = Sn, dus dat Sn wordt voorgebracht door de transpositie (1 2) en de cykel (1 2 3 ... n). Ik zou dit vooraf presenteren als Lemma.

o Dat stukje ertussen vind ik onbegrijpbaar. Hoe kom je precies aan de cykel (1 k ... )?

o Als ik het me zo visualiseer (ik zie Sn als een rondje met punten 1,2,...,n), dan is de cykel (1 2 3 ... n) een verdraaiing en de transpositie (1 k) een verwisseling van de punten 1 en k. Om te zorgen dat alle punten onafhankelijk van elkaar terecht kunnen komen, lijkt mij dat de afstand tussen de punten 1 en k onderling ondeelbaar moet zijn met n. En de afstand tussen de punten 1 en k is k-1. Ik ga dus mee met jou vermoeden.

Succes ermee!

Forest.

#5

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 september 2005 - 00:15

Ik zou het antwoord niet 123 weten, maar wat ook een erg goede site is waar door professionals antwoord gegeven op algebra vragen is:
http://at.yorku.ca/c...raist;task=list

#6

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 september 2005 - 11:29

Ik zie dat iemand (jij?) die vraag al op die site heeft gepost.

#7

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 september 2005 - 14:09

Ja idd ik hoop dat jullie dat niet vervelend vinden dat ik soms op meerdere plaatsen post

ik ga er in de toekomst meer op letten dan dat ik ook als ik antwoord heb zorg dat dat op de andere plaatsen geraakt

ik zit graag ook nog mathlinks.ro en 'ask an algebraist'





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures