Convergentie nagaan van reeksen.

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 10-07-'10, 17:05

Overdruk

Gebruikersavatar
Berichten: 214

Convergentie nagaan van reeksen.

Dag allemaal

Het betreft de reeks
\( \displaystyle{\sum_{n \geq 1} \sin(\frac{1}{n})} \)
.

Uit d'Alembert en Raabe kan men niets concluderen, eveneens is dat zo voor de worteltest...

Aan de andere kant kan je met de integraaltest concluderen dat de reeks divergent is, maar dan heb je de kennis nodig van de functie
\( Ci(t) = \int_t^{\infty} \frac{\cos(t)}{t}dt \)
.

wat bij mij eigenlijk binnen het kader van mijn cursus niet het geval is...

Ziet er misschien iemand van jullie een ander bewijs dat de betreffende reeks divergent is?
Cogito ergo sum.
Omhoog

Bericht 10-07-'10, 19:54

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Convergentie nagaan van reeksen.

Zie je kans om deze reeks af te schatten met de harmonische reeks?
Omhoog

Bericht 11-07-'10, 12:29

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convergentie nagaan van reeksen.

Je kan de limiet vergelijkingstest gebruiken, vergelijk met de harmonische reeks.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 12-07-'10, 15:04

Overdruk

Gebruikersavatar
Berichten: 214

Re: Convergentie nagaan van reeksen.

Ik veronderstel dat dit te rechtvaardigen is door de ongelijkheid van Jordan.

(
\( \frac{2x}{\pi} < \sin x < x \)
op voorwaarde dat
\( 0 < x < \frac{\pi}{2} \)
. )

Ook nog het feit dat we te maken hebben met een reeks met positieve termen want:
\( 0 < \frac{1}{n} < 1 < \pi \)
De reeks
\( \displaystyle{\sum_n \frac{1}{n}} \)
is dan een majorante van de reeks in de opgave.

Uit de majorantenregel dat ik gezien heb, kan je niks besluiten, want daar gaat het over convergentie en het is geen nodige en voldoende voorwaarde.

TD, jij hebt het over de quotiëntregel? Dat je de limiet neemt van de breuk van de algemene termen?

Dit levert:
\( \displaystyle{\lim_{n \rightarrow + \infty} \sin{(\frac{1}{n})}} n = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
De stelling van de quotiëntregel levert dan (met contrapositie van de dubbele implicatie) dat de gevraagde reeks niet convergent is, maar bij definitie divergeert de reeks dan naar oneindig, wat moest bewezen worden.
Cogito ergo sum.
Omhoog

Bericht 12-07-'10, 21:11

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convergentie nagaan van reeksen.

TD, jij hebt het over de quotiëntregel? Dat je de limiet neemt van de breuk van de algemene termen?
Ik ken het niet onder die naam, maar ik bedoel die test ja.
(...) dat de gevraagde reeks niet convergent is
Klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”