Springen naar inhoud

Integraal lnx/x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Studentgruningn

    Studentgruningn


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 juli 2010 - 14:44

Hallo, Dit leek mij een geschikte plek voor mijn vraag mbt integralen :

Ik heb te maken met de integraal van : lnx/x.

Mijn poging :


S lnx/x dx =S lnx * 1/x dx = (lnx)^2 - S lnx/x dx

ik maak hier gebruik van partiel integreren, en zoals je ziet krijg ik oneindig keer (lnx)^2 - (lnx)^2..... met daarachter de term waar het allemaal om begon... wat natuurlijk niet kan omdat zo de term steeds groter wordt bij elke stap..

Enig inzicht / uitleg is erg welkom!

EDIT : het boek geeft oplossing ((lnx)^2)/2

Veranderd door Ger, 11 juli 2010 - 08:50


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 8589 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juli 2010 - 15:56

Bedenk dat de afgeleide van ln(x) is ... ?

#3

Studentgruningn

    Studentgruningn


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 juli 2010 - 21:28

Die is 1/x zoals je ook in mijn antwoord bij de partiele integratie ziet staan, ik snap niet helemaal waar je met je opmerking heen wilt?

2 keer 1/x primitiveren geeft lnx, en lnx differentieren geeft weer 1/x dus met partiele integratie kom ik met die weg in een loop!

wat volgens mij wiskundig niet kan kloppen, dus wat gaat hier fout!?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 8589 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 juli 2010 - 08:37

(1/x)dx=d(ln(x))
Zegt dit je iets. Zo nee, stel een nieuwe variabele t=ln(x). (substitutie-methode)

#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 1930 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2010 - 10:42

Hint: wat is volgens de kettingregel de afgeleide van (f(x))n, en hoe zou je dat hier toe kunnen passen om de gevraagde primitieve te vinden?
"Voor zover de stellingen van de wiskunde betrekking hebben op de werkelijkheid zijn ze niet zeker, en voor zover ze zeker zijn hebben ze geen betrekking op de werkelijkheid." Albert Einstein

#6

Studentgruningn

    Studentgruningn


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2010 - 13:53

Ik zie nu dat het een erg simpel (*schaam*) voorbeeld is van substitutie,

[ ln(x) = u ] S u du = (u^2)/ 2 => ((lnx)^2)/2

Maar dan rest mijn vraag : waarom kan deze integraal niet opgelost worden dmv partiel integreren? ik was namelijk in de veronderstelling dat ELKE integraal van deze vorm door middel van die methode oplosbaar is! (vandaar dat ik zonder na te denken die methode blind aan het toepassen was) hoe komt het dat je met partiele integratie hier niet verder komt?

Wanneer kies je voor deze substitutiemethode en wanneer voor partiel integreren..? of eigenlijk een betere vraag : wanneer is zoiets wel of niet geldig en waarom!?

In ieder geval bedankt voor de hulp tot nu toe, ik weet nu in ieder geval waar mijn denkfout zat.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24013 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 juli 2010 - 13:58

Wat bedoel je met "deze vorm"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 1930 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2010 - 14:18

waarom kan deze integraal niet opgelost worden dmv partiel integreren?


Dat kan wel degelijk. Ga maar uit van ln x en de afgeleide van ln x en kijk maar eens wat dat oplevert.

Wanneer kies je voor deze substitutiemethode en wanneer voor partiel integreren..? of eigenlijk een betere vraag : wanneer is zoiets wel of niet geldig en waarom!?

De substitutiemethode is met name handig als je te maken hebt met uitdrukkingen van de vorm n∙f'(x)∙(f(x))n-1 of LaTeX , aangezien LaTeX en LaTeX . Partieel integreren gebruik je om een product van 2 functies te integreren, waarbij de ene functie een bekende afgeleide functie is.
"Voor zover de stellingen van de wiskunde betrekking hebben op de werkelijkheid zijn ze niet zeker, en voor zover ze zeker zijn hebben ze geen betrekking op de werkelijkheid." Albert Einstein

#9

Studentgruningn

    Studentgruningn


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2010 - 15:30

Met ''van deze vorm" bedoel ik integreren over 1 variabele gegeven 2 termen (dus alles wat je partiel zou kunnen gaan integreren)

@ Mathreak ":

Nee toch? kijk maar :

Als ik nu partiel integreer met lnx 2 maal geprimitiveerd :

S lnx * 1/x dx = xlnx * 1/x - S xlnx * lnx dx = lnx - S x lnx^2 dx => dit loopt op niets uit

En als ik partiel integreer waarbij ik 1/x 2 maal primitiveer en lnx differentieer :

S lnx/x dx =S lnx * 1/x dx = (lnx)^2 - S lnx/x dx

krijg ik een oneindige loop met (lnx)^2 - (lnx)^2 - (lnx)^2 - (lnx)^2 - (lnx)^2 - (lnx)^2 - (lnx)^2 - .. maal de oorspronkelijke integraal.

Dus eigenlijk zegt dit dat

(lnx)^2 - S lnx/x dx = S lnx/x dx

Dus a - b = b (!)

Hier zit mijn punt een beetje.. (hoe krijg je trouwens die mooie formule notatie>?)

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24013 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 juli 2010 - 15:38

Met ''van deze vorm" bedoel ik integreren over 1 variabele gegeven 2 termen (dus alles wat je partiel zou kunnen gaan integreren)

Dit begrijp ik niet, welke twee termen (van een som)...?

Dus eigenlijk zegt dit dat

(lnx)^2 - S lnx/x dx = S lnx/x dx

Dus a - b = b (!)

Als a-b = b, dan is 2b = a dus b = a/2; dus dan heb je je integraal ook!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Studentgruningn

    Studentgruningn


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 juli 2010 - 16:04

@ TD : nou ja S f(x)* g(x) dx waarbij f(x) en g(x) integreer- en differentieerbaar.


Je 2e opmerking erg knap gevonden! ik was dichterbij dan ik dacht..

Ik ben er volgens mij nu echt helemaal uit, bedankt!

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24013 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 juli 2010 - 16:08

Je kan partiŽle integratie altijd toepassen, maar het helpt je niet noodzakelijk verder om de gezochte primitieve te vinden.

Deze is nu blijkbaar gelukt, op twee manieren ](*,).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers


Vacatures