\( f(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \)
.Ik kan dit gewoon doen door simpel telkens voor elke n de n-de orde afgeleide te berekenen en in te vullen in de formule:
\( f(x) = a_0 + a_1 x + a_2x + ... + a_n x^n + ... \)
, waarbij de a's die n-de orde afgeleiden zijn, geëvalueerd in x = 0, gedeeld door n!.Na rekenwerk bekomt men:
\( f(x) = \frac{1}{3} ( 1 - \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{9} - ... )\)
Er wordt ook gevraagd waar deze ontwikkeling geldig is. Door de complexe meetkundige reeks te onderzoeken weten we dat
\( \frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 -t^3 + ... \)
als \( -1 < t < 1 \)
.We kunnen de gevraagde functie schrijven als:
\( \frac{1}{1 + (\sqrt{x^2+2})^2 } \)
en dus kan die functie enkel ontwikkeld worden als:\( -1 < \sqrt{x^2+2} < 1 \)
of dus als \( - \sqrt 3 < x < \sqrt 3 \)
.Nu vraag ik me het volgende af:
Waarom mag ik niet gewoon de formule gebruiken met de reekssom van de complexe meetkundige reeks?
Zo:
\( \frac{1}{1 + (\sqrt{x^2+2})^2} = 1 - (x^2 + 2) + (x^2+2)^2 - ... \)
.Of mag dit wel?
Alvast bedankt
