Springen naar inhoud

Kansrekenen met tijdsintervallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2010 - 11:20

Gisteren kwam ik een leuke/uitdagende vraag tegen.


Stel, ik en een willekeurige vriend hebben allebei vanmiddag een kwartier pauze ergens tussen 12u en 13u. We spreken af dat we allebei in dezelfde friettent gaan eten, maar we spreken geen concrete tijd af. Hoe groot is de kans dan dat wij elkaar tegen gaan komen in die friettent?



We maken de pauze voor het gemak even exact een kwartier, we zijn uiteraard heel braaf en als we elkaar net buiten de deur tegenkomen rekenen we dat niet meer tot het elkaar tegenkomen ](*,).
De eerste gedachte die bij mij op kwam was een kwart. Maar dat is natuurlijk onzin. Stel dat ik van 12.30-12.45 daar zit, dan kom ik de vriend tegen wanneer hij om 12.15 komt tot op zijn laatst als hij 12.45 komt, dus is de kans LaTeX (hij moet binnenkomen tussen 12.15 en 12.45 om mij tegen te komen, maar kan binnenkomen van 12.00-12.45).
Als ik echter om 12.45 kom, is de kans dat ik hem tegenkom nog maar 33%. Immers, mijn vriend heeft pauze tot 13u, dus komt hij als hij binnenkomt ergens tussen 12.30u en 12.45u (hij kan binnenkomen van 12.00 - 12.45, dus LaTeX ).


Nu dacht ik het volgende:
Ik ga uit van mijzelf, en bereken daarbij de kans dat ik deze vriend tegenkom.
  • Stel ik kom ergens tussen 12.00 en 12.15 (en ga dus corresponderend daarmee ergens tussen 12.15 en 12.30 weer weg). Ik heb in die periode LaTeX kans om mijn vriend te ontmoeten. Hij kan dan van 12.00 tot en met 12.30 binnenkomen.

  • Stel ik kom ergens tussen 12.15 en 12.30 (en ga dus corresponderend daarmee ergens tussen 12.30 en 12.45 weer weg). Dan heb ik 67% kans om mijn vriend te ontmoeten. Hij kan dan van 12.00 tot en met 12.45 binnenkomen.

  • Stel ik kom binnen tussen 12.30 en 12.45 (en ga dus corresponderend daarmee ergens tussen 12.45 en 13.00 weer weg). Dan heb ik weer LaTeX kans om de vriend tegen het lijf te lopen. Hij kan dan van 12.15 tot en met 12.45 binnenkomen.
Ik kom dan dus uit op een gemiddelde van: LaTeX .





Maar stel nu dat de tijdsperiode van 12.00 tot 13.30 loopt en ik een kwartier en andere willekeurige vriend een halfuur pauze heeft.
De situatie kunnen we nu vanuit twee personen beredeneren (i.t.t. de voorgaande). Die dus exact hetzelfde op zouden moeten leveren.


Uitgaande van mijzelf.
  • Ik kom ergens tussen 12.00 en 12.30. De kans om de vriend om 12.00 tegen te komen is LaTeX . Immers, hij moet dan ergens tussen 12.00 en 12.15 binnenkomen en kan op zijn laatst om 13.00 binnenkomen.
    De kans dat ik hem tegenkom om 12.30 is LaTeX . Immers, hij kan van 12.00-12.45 binnenkomen.
    De kans dat ik hem dus tegenkom tussen 12.00 en 12.30 is LaTeX .

  • Ik kom tussen 12.30 en 12.45 binnen.
    Als ik om 12.30 kom is de kans 75% (zie vorige punt).
    Als ik om 12.45 kom, moet de vriend van van 12.15-13.00 binnenkomen om mij tegen te komen. De kans is dan weer LaTeX .
    Dus tussen 12.30 en 12.45 is de kans om de vriend tegen te komen 75%.

  • Ik kom tussen 12.45 en 13.00 binnen.
    Als ik om 12.45 binnen kom, dan moet de vriend tussen 12.15 en 13.00 binnenkomen. De kans is dan 75% (zie vorige punt).
    Als ik om 13.00 binnen kom, dan moet de vriend tussen 12.30 en 13.00 binnenkomen. De kans is dan LaTeX .
    Gemiddeld is de kans dus 62.5% da ik hem tussen 12.45 en 13.00 tegenkom.

  • Ik kom tussen 13.00 en 13.15 binnen.
    Als ik om 13.00 binnen kom, dan is de kans 50% dan ik de vriend tegenkom.
    Als ik om 13.15 binnen kom, dan moet mijn vriend tussen 12.45 en 13.00 binnenkomen. De kans is dus LaTeX .
    Gemiddeld genomen op dit interval is de kans dus 37.5%.

De gemiddelde kans is dan dus: LaTeX



Uitgaande van de vriend:
  • Hij komt van 12.00 - 12.15 binnen.
    De kans dat hij mij tegenkomt om 12.00 is LaTeX . Ik kan dan namelijk van 12.00-12.30 binnenkomen.
    De kans dat hij mij tegenkomt om 12.15 is LaTeX . Ik kan dan namelijk van 12.00-12.45 binnenkomen.
    Gemiddeld is dit dus 50%.

  • Hij komt binnen van 12.15-12.45
    Om 12.15 uur is de kans 60% (zie vorige punt).
    Om 12.45 uur is de kans LaTeX . Ik kan dan namelijk van 12.30 - 13.15 binnenkomen.
    Gemiddeld genomen is dit dus 60%.

  • Hij komt binnen van 12.45-13.00.
    De kans om 12.45 is 60% (zie vorige punt).
    De kans om 13.00 is LaTeX . Ik kan dan namelijk van van 12.45-13.15 binnenkomen.
    Gemiddeld is de kans dus 50%.

De kans is dan dus gemiddeld: LaTeX .
Dat klopt dus wel met elkaar.



Mijn vragen aan jullie:
  • Is mijn manier van redeneren goed?
  • Zitten er fouten in het bovenstaande?
  • Is er een snellere manier van kansberekening?



Mogelijk is dit meer iets voor het subtopic kansrekenen van wiskunde... Maar voor de zekerheid heb ik hem maar hier geplaatst.

Veranderd door JWvdVeer, 13 juli 2010 - 11:23


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 juli 2010 - 11:49

Zie hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 juli 2010 - 11:55

Volgens mij maak je het jezelf makkelijker door alleen naar de begintijd van jullie pauzes te kijken.

Stel, er is een periode T waarbinnen je pauze van L minuten begint. Als jullie een pauze van een kwartier nemen tussen 12:00 en 13:00, dan T = 45 (want de begintijd van een pauze ligt ergens tussen 12:00 en 12:45) en L = 15.

Er zijn nu twee tijdstippen t1 en t2 die uniform verdeeld zijn over [0,T], en jullie ontmoeten elkaar als |t1-t2|<L. Dit is een simpele integraal:

Geplaatste afbeelding
(rood = waar jouw pauze begint, groen is waar zijn pauze minimaal en maximaal moet beginnen om elkaar te ontmoeten, het gearceerde gebied is waar jullie elkaar ontmoeten).

Deze kans is 1-(1-L/T)2.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 juli 2010 - 12:15

Afhankelijk van wat er precies bedoeld wordt, zou je ook kunnen zeggen dat een aankomsttijd tussen 12:45 en 13:00 mogelijk is, dan bevindt die persoon zich geen volledig kwartier in de friettent. Misschien was dat (wiskundig) bedoeld, maar komt dat in het verhaaltje zo niet naar voor. Dan verandert de kans van 5/9 (zie Rogier) naar 7/16.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2010 - 12:40

Kijk, aan die commentaren heb ik wat. Inderdaad, nu zie ik ook dat ik het zo op had kunnen lossen... Niet bepaald de handigste methode gekozen dus...

Het doet me wel deugd trouwens om te zien dat ik het goed berekend had (tenminste, de eerste situatie):
LaTeX .


Echter als ik dan naar de tweede situatie ga kijken, kom ik er niet helemaal meer uit. Ik kom met handmatig rekenwerk op 55% uit (twee keer).
Echter, bij de eerste aanpak van het tweede vraagstuk kom ik op vier categorieŽn uit. Waar is de vierde categorie dan gebleven?

Rekenkundig steekt die ook een beetje anders in elkaar.
  • Ik kan pauze nemen van 12.00-13.15. Hij kan pauze nemen van 12.00 - 13.00 (T = ?).
  • Ik moet een kwartier uur eerder of half uur later pauze nemen, ofwel hij moet een halfuur eerder of een kwartier later pauze nemen dan ik (L = ?)

Om in de grafiek te blijven:
LaTeX .
LaTeX .
LaTeX .

LaTeX
LaTeX

Als je de balk zou tekenen in de grafiek (met welk progje teken jij die dingen zo snel Rogier?), zou ik een grafiek tekenen met:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Ik kom dan uiteindelijk uit op:
LaTeX

Veranderd door JWvdVeer, 13 juli 2010 - 12:43


#6

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juli 2010 - 12:48

Afhankelijk van wat er precies bedoeld wordt, zou je ook kunnen zeggen dat een aankomsttijd tussen 12:45 en 13:00 mogelijk is, dan bevindt die persoon zich geen volledig kwartier in de friettent.

Zou ook nog kunnen. Het was een vraagstuk die tijdens een discussie tussen mij en een aantal vrienden ter sprake kwam. Dus zo diep zijn we er niet op in gegaan.

In dat geval lijkt mij dat je de T gewoon laat doorlopen tot het eind van de pauze en corrigeer je niet voor de lengte van de pauze (dus het eerste vraagstuk):
LaTeX
LaTeX .
LaTeX

Veranderd door JWvdVeer, 13 juli 2010 - 12:49






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures