Stel, ik en een willekeurige vriend hebben allebei vanmiddag een kwartier pauze ergens tussen 12u en 13u. We spreken af dat we allebei in dezelfde friettent gaan eten, maar we spreken geen concrete tijd af. Hoe groot is de kans dan dat wij elkaar tegen gaan komen in die friettent?
We maken de pauze voor het gemak even exact een kwartier, we zijn uiteraard heel braaf en als we elkaar net buiten de deur tegenkomen rekenen we dat niet meer tot het elkaar tegenkomen ](*,) .
De eerste gedachte die bij mij op kwam was een kwart. Maar dat is natuurlijk onzin. Stel dat ik van 12.30-12.45 daar zit, dan kom ik de vriend tegen wanneer hij om 12.15 komt tot op zijn laatst als hij 12.45 komt, dus is de kans
\(\frac{30}{45} = 67\%\)
(hij moet binnenkomen tussen 12.15 en 12.45 om mij tegen te komen, maar kan binnenkomen van 12.00-12.45).Als ik echter om 12.45 kom, is de kans dat ik hem tegenkom nog maar 33%. Immers, mijn vriend heeft pauze tot 13u, dus komt hij als hij binnenkomt ergens tussen 12.30u en 12.45u (hij kan binnenkomen van 12.00 - 12.45, dus
\(\frac{15}{45} = 33\%\)
).Nu dacht ik het volgende:
Ik ga uit van mijzelf, en bereken daarbij de kans dat ik deze vriend tegenkom.
- Stel ik kom ergens tussen 12.00 en 12.15 (en ga dus corresponderend daarmee ergens tussen 12.15 en 12.30 weer weg). Ik heb in die periode \(\frac{33\% + 67\%}{2} = 50\%\)kans om mijn vriend te ontmoeten. Hij kan dan van 12.00 tot en met 12.30 binnenkomen.
- Stel ik kom ergens tussen 12.15 en 12.30 (en ga dus corresponderend daarmee ergens tussen 12.30 en 12.45 weer weg). Dan heb ik 67% kans om mijn vriend te ontmoeten. Hij kan dan van 12.00 tot en met 12.45 binnenkomen.
- Stel ik kom binnen tussen 12.30 en 12.45 (en ga dus corresponderend daarmee ergens tussen 12.45 en 13.00 weer weg). Dan heb ik weer \(\frac{33\% + 67\%}{2} = 50\%\)kans om de vriend tegen het lijf te lopen. Hij kan dan van 12.15 tot en met 12.45 binnenkomen.
\(\frac{(2 \cdot 50\%) + 67\%}{3} = 55.6\%\)
.Maar stel nu dat de tijdsperiode van 12.00 tot 13.30 loopt en ik een kwartier en andere willekeurige vriend een halfuur pauze heeft.
De situatie kunnen we nu vanuit twee personen beredeneren (i.t.t. de voorgaande). Die dus exact hetzelfde op zouden moeten leveren.
Uitgaande van mijzelf.
- Ik kom ergens tussen 12.00 en 12.30. De kans om de vriend om 12.00 tegen te komen is \(\frac{15}{90 - 30} = 25\%\). Immers, hij moet dan ergens tussen 12.00 en 12.15 binnenkomen en kan op zijn laatst om 13.00 binnenkomen.
De kans dat ik hem tegenkom om 12.30 is\(\frac{45}{90 - 30} = 75\%\). Immers, hij kan van 12.00-12.45 binnenkomen.
De kans dat ik hem dus tegenkom tussen 12.00 en 12.30 is\(\frac{25\% + 75\%}{2} = 50\%\). - Ik kom tussen 12.30 en 12.45 binnen.
Als ik om 12.30 kom is de kans 75% (zie vorige punt).
Als ik om 12.45 kom, moet de vriend van van 12.15-13.00 binnenkomen om mij tegen te komen. De kans is dan weer\(\frac{45}{60} = 75\%\).
Dus tussen 12.30 en 12.45 is de kans om de vriend tegen te komen 75%. - Ik kom tussen 12.45 en 13.00 binnen.
Als ik om 12.45 binnen kom, dan moet de vriend tussen 12.15 en 13.00 binnenkomen. De kans is dan 75% (zie vorige punt).
Als ik om 13.00 binnen kom, dan moet de vriend tussen 12.30 en 13.00 binnenkomen. De kans is dan\(\frac{30}{60} = 50\%\).
Gemiddeld is de kans dus 62.5% da ik hem tussen 12.45 en 13.00 tegenkom. - Ik kom tussen 13.00 en 13.15 binnen.
Als ik om 13.00 binnen kom, dan is de kans 50% dan ik de vriend tegenkom.
Als ik om 13.15 binnen kom, dan moet mijn vriend tussen 12.45 en 13.00 binnenkomen. De kans is dus\(\frac{15}{60} = 25\%\).
Gemiddeld genomen op dit interval is de kans dus 37.5%.
\(\frac{(30 \cdot 50\%) + (15 \cdot 75\%) + (15 \cdot 62.5\%) + (15 \cdot 37.5\%)}{75} = 55\%\)
Uitgaande van de vriend:- Hij komt van 12.00 - 12.15 binnen.
De kans dat hij mij tegenkomt om 12.00 is\(\frac{30}{75} = 40\%\). Ik kan dan namelijk van 12.00-12.30 binnenkomen.
De kans dat hij mij tegenkomt om 12.15 is\(\frac{45}{75} = 60\%\). Ik kan dan namelijk van 12.00-12.45 binnenkomen.
Gemiddeld is dit dus 50%. - Hij komt binnen van 12.15-12.45
Om 12.15 uur is de kans 60% (zie vorige punt).
Om 12.45 uur is de kans\(\frac{45}{75} = 60\%\). Ik kan dan namelijk van 12.30 - 13.15 binnenkomen.
Gemiddeld genomen is dit dus 60%. - Hij komt binnen van 12.45-13.00.
De kans om 12.45 is 60% (zie vorige punt).
De kans om 13.00 is\(\frac{30}{75} = 40\%\). Ik kan dan namelijk van van 12.45-13.15 binnenkomen.
Gemiddeld is de kans dus 50%.
\(\frac{(15 \cdot 50\%) + (30 \cdot 60\%) + (15 \cdot 50\%)}{60} = 55\%\)
.Dat klopt dus wel met elkaar.
Mijn vragen aan jullie:
- Is mijn manier van redeneren goed?
- Zitten er fouten in het bovenstaande?
- Is er een snellere manier van kansberekening?
