Springen naar inhoud

Differentiaalvergelijking opstellen muggenpopulatie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Cerium

    Cerium


  • >250 berichten
  • 449 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2010 - 14:47

Hallo,

Ik ben een boek aan het doornemen over differentiaalvergelijkingen. Voor het volgende probleem lukt het mij niet om een correcte differentiaalvergelijking op te stellen. Het volgende is gegeven:

"De muggenpopulatie in een bepaald gebied neemt toe met een snelheid die evenredig is met de huidige populatie, en in de afwezigheid van andere factoren verdubbelt de populatie elke week. Initieel zijn er 200 000 muggen aanwezig. Veronderstel ook dat er 20 000 muggen per dag opgegeten worden door andere dieren. Bepaal de omvang van de populatie op elk moment."

Ik had de volgende differentiaalvergelijking in gedachten:

LaTeX

Elke dag komt er LaTeX van de populatie (p) bij omdat de populatie elke week verdubbelt. Elke dag verdwijnen er ook 20.000 muggen. De eenheid van zowel LaTeX als 20.000 is LaTeX .

Als ik deze differentiaalvergelijking oplos kom ik niet tot een geloofwaardig resultaat. Ziet iemand een fout in mijn redenering?

Alvast bedankt

Veranderd door Cerium, 14 juli 2010 - 14:48


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2010 - 15:08

De vorm van de vergelijking ziet me er correct uit.

Maar:

Elke dag komt er LaTeX

van de populatie (p) bij

Ben je hier zeker van?
Bijvoorbeeld: als ik na twee dagen een dubbele populatie zou willen hebben, moet ik telkens 1/2 van de huidige populatie erbij tellen?
LaTeX

Je hebt dus een andere constante nodig.
Noem deze voorlopig bijvoorbeeld k en stel een vergelijking op om deze te bepalen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

Cerium

    Cerium


  • >250 berichten
  • 449 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juli 2010 - 16:02

Je tip heeft het gedaan denk ik ](*,). Ik denk echter dat het gemakkelijker is om als tijdseenheid een week te nemen. Alleszins geldt dat onder normale omstandigheden, als er geen muggen zouden worden opgegeten, de populatie als volgt groeit:

LaTeX

Als we deze differentiaalvergelijking oplossen bekomen we het volgende:

LaTeX

Uit het feit dat op t=0 de populatie uit 200.000 muggen bestaat halen we dat de integratieconstante C gelijk is aan 200.000. Zodat:

LaTeX

Als we nu stellen dat na 1 week (t=1) de populatie verdubbeld is (en dus 400.000 muggen groot geworden is) volgt hier het volgende uit:

LaTeX
LaTeX
LaTeX

De uiteindelijke differentiaalvergelijking als antwoord op de opgave:

LaTeX


Klopt dit? Bedankt!

#4

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 juli 2010 - 16:31

Volgens mij klopt het.

Mijn tip is, nu ik het bekijk, niet bijster goed. Verkeerd zelfs.
Als je het berekent voor een verdubbeling in twee stappen, vindt je LaTeX , en ook dan klopt volgende niet:
LaTeX

Ik had gewoon beter kunnen zeggen dat je bij een continu proces niet rechtstreeks de gegeven snelheid mag gebruiken.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#5


  • Gast

Geplaatst op 15 juli 2010 - 16:40

Ik kom op een ander antwoord uit. Gesteld dat er geen sterfte is ('afwezigheid van andere factoren') is de populatiegrootte per dag
LaTeX
want alleen dan is er exponentiele groei en verdubbelt de populatie in 7 dagen.
Nemen we aan dat de sterfte aan het eind van de dag wordt verrekend dan is de populatie
LaTeX
Nemen we hier de afgeleide naar de dag van dan ontstaat de dv
LaTeX
Volgens mij mag je de tijdconstante niet één week nemen omdat je dan de dagelijkse sterfte niet juist berekent.

#6

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 juli 2010 - 17:02

Hoe stel jij je vergelijking op?
Je krijgt trouwens N(0)=0 in plaats van 200000

Ik denk dat je een formule probeert op te stellen die een discreet proces beschrijft, waarbij op het einde van de dag telkens een deel van de populatie (van die voorbije dag) bijkomt, niet waarbij gedurende elk tijdstip van de dag de populatie continu groeit. Er in dat verband al eens een discussie geweest hier.

Ik krijg de volgende differentiaalvergelijking voor (t=1dag):

LaTeX
p(t) naar rechts brengen, delen door dt en limiet nemen geeft:
LaTeX

Nu willen we overgaan naar een week. LaTeX
LaTeX
of LaTeX
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#7


  • Gast

Geplaatst op 17 juli 2010 - 09:44

Ik heb de verkeerde formule genomen. Moet zijn N(d)=200.000 . k^(d). Omdat voor d=7 moet gelden dan N(7)=400.000 volgt LaTeX .
Indien per dag een sterfte optreedt van 20.000 wordt LaTeX en daarvan is de afgeleide, tenzij ik me vergis,
LaTeX

Maar ik houd staande dat als de sterfte per dag wordt berekend, dit niet zomaar met 7 mag worden vermenigvuldigd om de wekelijkse sterfte te krijgen. Immers doordat al op dag één de populatie met 20.000 afneemt zal de normaal geldende vergelijking veranderen. Ik ga een getallenvoorbeeld opstellen om mezelf te overtuigen maar dat moet nog even wachten, ik heb ook nog jouw discussie door te spitten.

Jij hebt het probleem van de bepaling van k omzeild. Je mag best overgaan naar een andere tijdvariabele maar dan verandert k ook, dus volgens mij kun jij k niet juist berekenen.

Getallenvoorbeeld volgt nader,

#8


  • Gast

Geplaatst op 17 juli 2010 - 10:46

Haha, het getallenvoorbeeld geeft me ongelijk:

daily weekly
growthfact 1,1040895 growthfact 2
mortality 20.000 mortality 140.000

day week
0 200.000 0 200.000
1 200.818 0 200.000
2 203.803 0 200.000
3 209.180 0 200.000
4 217.199 0 200.000
5 228.134 0 200.000
6 242.289 0 200.000
7 260.000 1 260.000
8 281.636 1 260.000
9 307.605 1 260.000
10 338.360 1 260.000
11 374.398 1 260.000
12 416.268 1 260.000
13 464.579 1 260.000
14 520.000 2 520.000
15 583.272 2 520.000
16 655.211 2 520.000
17 736.720 2 520.000
18 828.795 2 520.000
19 932.537 2 520.000
20 1.049.158 2 520.000
21 1.180.000 3 1.180.000
22 1.326.543 3 1.180.000
23 1.490.422 3 1.180.000
24 1.673.440 3 1.180.000

Op dag 7, 14 en 21 zijn beide populaties even groot. Conclusie: Het maakt niet uit welke tijdvariabele je gebruikt, ook niet als de groeifactor per week is gedefinieerd en de sterfte per dag. Je had gelijk, ZvdP. Maar volgende keer heb ik weer gelijk! Ik ga op zoek naar de latex manier om tabellen te maken...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures