Springen naar inhoud

Afleiden van de lenzenmakers formule


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Free

    Free


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2010 - 13:16

Hallo,
Ik ben (al vroeg) bezig met mijn eindwerk voor volgend jaar en ben bezig met een hoofdstuk over lenzen. Ik had graag alle formules die ik in mijn eindwerk gebruik wiskundig afgeleid om duidelijk de basis te late nzien waarvan alles vertrekt zodat er uiteindelijk maar een paar formules zijn die je moet aanemen. Ik heb echter wat problemen met de volgende formule (de lenzenmakersformule) uit de optica. Ik raak altijd verstrikt in ongeloofelijk ingewikkelde berekeningen en krijg ze dus niet afgeleid. Zou iemand mij misschien op weg kunnen helpen?
Geplaatste afbeelding

Alvast bedankt ](*,)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 juli 2010 - 15:49

Kun je hier iets mee? Googel ook eens met "thick lens formula" of ga op zoek naar dit boek.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

physicdude

    physicdude


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 13:57

Hoi Free,

Je kunt deze vgl op meerdere manieren afleiden. De manier die ik je aanraad is die met matrixoptica. Ik zal je kort vertellen wat dit inhoud:

Neem als basis een dikke lens, dit betekent dat je twee vlakken hebt met kromming R1 en R2 maar ook een tussenlaag met dikte LaTeX . Verder is gegeven dat de brekingsindex van de lens gelijk is aan LaTeX en dat de lens zich in lucht bevind die brekingsindex LaTeX heeft.

Nu moet je van dit systeem een zogenoemde systeemmatrix opzetten. Wat je doet is de lichtstraal volgen door het systeem heen. Eerst zal deze aan grensvlak 1 met kromming R1 breken, vervolgens zal er transmissie door de lens plaatsvinden tussen R1 en R2 en daarna zal de lichtstraal weer breken aan R2.

Dus systeemmatrix A = R2(breking vlak 2)T21(Transmissie R2->R1 doorLaTeX )R1(breking vlak 1) dus A=R2*T21*R1
Ik schrijf dit in omgekeerde volgorde omdat dat een regel is in de matrixoptica.

Nu zijn er standaard matrices voor reflectie(R2 en R1) en transmissie (T21).
Die van reflectie is algemeen:
LaTeX

Voor R1 en R2 geldt nu logischerwijs:

LaTeX


LaTeX

De transmissiematrix is gelijk aan:

LaTeX

Voor de systeemmatrix geldt:

LaTeX

De stappen die volgen mag je zelf proberen:
1) Reken de systeemmatrix A uit door eerst R1 met T21 te vermenigvuldigen en dan die met R2 te vermenigvuldigen.
2) Je krijgt nu een matrix uit zoals de vorige A, je kunt nu een uitdrukking voor a12 uit de systeemmatrix halen.
3) dus a12=..... bekend is uit de optica dat: D1 = (LaTeX - LaTeX ) / R1 en D2 = (LaTeX - LaTeX ) / -R2 (Waarom dat minnetje?) en dat LaTeX , LaTeX Ook weet je dat de brekingsindex van lucht LaTeX als 1 benaderd wordt.

4)Ook is bekend dat in een systeemmatrix a12 = - (1/f) . Als je dus in stap 3 a12 negatief maakt dan volgt hieruit 1/f is gelijk aan = de formule die je zoekt.

Als je er niet uitkomt post maar een reactie dan zal ik je een stap verder helpen. Mocht het matrix vermenigvuldigen niet lukken dan post dat ook even. (Het liefst vandaag) Succes.

Groet, Physicdude

#4

Free

    Free


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 14:30

Bedankt voor de hulp!
Ik ben nu al een hele stap vooruit!
Die matrices uitwerken lukt me wel. Alleen zit ik nog met de vraag vanwaar die matrices nu precies komen... Wat zijn de achterliggende formules voor die matrices? Ik heb al eens op het internet gekeken, maar daar doen ze nogal ingewikkeld vind ik... :s

Maar toch al enorm bedankt!

#5

DePurpereWolf

    DePurpereWolf


  • >5k berichten
  • 9240 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juli 2010 - 15:00

physicdude heeft inderdaad een elegante oplossing.
Over matrix optics in het engels: http://en.wikipedia....matrix_analysis
Je moet weten dat de matrix methode gewoon een wiskundig trukje is om de vergelijking makkelijker voor te kunnen stellen (er zal best een mooie uitleg zijn 'waarom' dat kan, maar dat zal een lang verhaal zijn)
In het Nederlands is dit iets wat ik gegoogled heb: http://edu.tnw.utwen.....ofdstuk 6.ppt
Reken even de eerste slides door en ik denk dat je het wel begrijpt. Als niet, dan moet je waarschijnlijk even na lezen over matrix algebra: http://nl.wikipedia....trix_(wiskunde)
Veel geluk

#6

physicdude

    physicdude


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 15:34

Oke mooi zo!

De refractiematrix komt volgens mij hiervandaan:

Eerst moet je in deze afleiding de zogenoemde paraxiale benadering gebruiken, dus de sin(Θ)=Θ.
Dan kan men de wet van snellius voor hetzelfde lenzensysteem als in mijn vorige reactie als volgt schrijven:

LaTeX sin(Θ1) = LaTeX sin(Θ2) met LaTeX de brekingsindex van refractie met hoek Θ1 en LaTeX de brekingsindex van de transmissie in de lens met hoek Θ2
LaTeX Θ1 = LaTeX Θ2 [formule. 1]
Nu geldt dat de hoek Θ gelijk is aan de som van de hoek van inval/transmissie en de hoek van refractie. Dus geldt:
Θ1 = LaTeX + LaTeX en
Θ2 = LaTeX + LaTeX
Invullen hiervan in vgl 1 geeft:
LaTeX (LaTeX + LaTeX ) = LaTeX (LaTeX + LaTeX ) [formule.2]
Aangezien sin(Θ)=Θ geldt in het bijzonder nu LaTeX = y1/R1
y1 = de verticale afstand tussen optische as en punt van breking
R1 = de kromtestraal van het vlak
Dus volgt nu voor vgl 2:
LaTeX (LaTeX + y1/R1) = LaTeX (LaTeX + y1/R1)
Deze formule uitvermenigvuldigen en herrangschikken geeft:
LaTeX LaTeX +(LaTeX -LaTeX )y1/R1 = LaTeX LaTeX
=
LaTeX LaTeX -(LaTeX -LaTeX )y1/R1 = LaTeX LaTeX (formule.3)
Aangezien we uit de optica weten dat D = (LaTeX -LaTeX )/R1 geldt voor formule 3 het volgende:
LaTeX LaTeX -D*y1 = LaTeX LaTeX
Deze vergelijking wordt ook wel de refractievergelijking genoemd.
Neem nu twee voorwaarden aan:
1) y1 in de refractievergelijking is gelijk aan de afstand gemeten vanaf de optische as tot de plek waar de lichtstraat invalt.
2) De afstand van de optische as tot de plek waar de lichtstraat invalt is gelijk aan die van de optische as tot waar de lichtstraal gebroken wordt: LaTeX = LaTeX
Nu volgen de volgende twee formules simpelweg uit de twee voorwaarden:
LaTeX LaTeX -D*LaTeX = LaTeX LaTeX en
LaTeX = 0 + LaTeX
Deze vergelijkingen zijn nu als matrix te schrijven:

LaTeX LaTeX
LaTeX

=

LaTeX

*
LaTeX LaTeX
LaTeX

De matrix in het midden is nu de refractiematrix. In de matrixoptica wordt in de eerste rij de initiele hoek met de optische as vermenigvuldigd met de brekingsindex weergegeven, in dit geval LaTeX LaTeX waar in de tweede regel de initiele verticale afstand tot de optische as wordt weergegeven als LaTeX
Als men deze matrix nu vermenigvuldigd met de verandering(in dit geval dus de refractiematrix) volgt het deel dat voor het = teken staat namelijk de hoek na breking tov. de optische as vermenigvuldigd met de hoek van de lichtstraal tov de optische as. In de tweede rij staat dan de nieuwe afstand tot de lichtstraal tov de optische as. Dit is de hoofdgedachte van de matrixoptica.

Die van de tranmissiematrix mag je zelf nog proberen. Als je er niet uitkomt zeg het maar. Ook kun je proberen die van een spiegelmatrix af te leiden. Succes!

Ps. Wat ik net heb afgeleid is sheet 7 van de goede sheets van depurperewolf. Deze sheets kan je goed gebruiken om verder te oefenen.

Groet, physicdude





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures