Oke mooi zo!
De refractiematrix komt volgens mij hiervandaan:
Eerst moet je in deze afleiding de zogenoemde paraxiale benadering gebruiken, dus de sin(Θ)=Θ.
Dan kan men de wet van snellius voor hetzelfde lenzensysteem als in mijn vorige reactie als volgt schrijven:
\(\[ n_{i1}\]\)
sin(Θ1) =
\(\[ n_{t1}\]\)
sin(Θ2) met
\(\[ n_{i1}\]\)
de brekingsindex van refractie met hoek Θ1 en
\(\[ n_{t1}\]\)
de brekingsindex van de transmissie in de lens met hoek Θ2
\(\[ n_{i1}\]\)
Θ1 =
\(\[ n_{t1}\]\)
Θ2 [formule. 1]
Nu geldt dat de hoek Θ gelijk is aan de som van de hoek van inval/transmissie en de hoek van refractie. Dus geldt:
Θ1 =
\(\[ a_{i1}\]\)
+
\(\[ a_{1}\]\)
en
Θ2 =
\(\[ a_{t1}\]\)
+
\(\[a_{1}\]\)
Invullen hiervan in vgl 1 geeft:
\(\[ n_{i1}\]\)
(
\(\[ a_{i1}\]\)
+
\(\[ a_{1}\]\)
) =
\(\[ n_{t1}\]\)
(
\(\[ a_{t1}\]\)
+
\(\[a_{1}\]\)
) [formule.2]
Aangezien sin(Θ)=Θ geldt in het bijzonder nu
\(\[ a_{1}\]\)
= y1/R1
y1 = de verticale afstand tussen optische as en punt van breking
R1 = de kromtestraal van het vlak
Dus volgt nu voor vgl 2:
\(\[ n_{i1}\]\)
(
\(\[ a_{i1}\]\)
+ y1/R1) =
\(\[ n_{t1}\]\)
(
\(\[ a_{t1}\]\)
+ y1/R1)
Deze formule uitvermenigvuldigen en herrangschikken geeft:
\(\[ n_{i1}\]\)
\(\[ a_{i1}\]\)
+(
\(\[ n_{i1}\]\)
-
\(\[ n_{t1}\]\)
)y1/R1 =
\(\[ n_{t1}\]\)
\(\[ a_{t1}\]\)
=
\(\[ n_{i1}\]\)
\(\[ a_{i1}\]\)
-(
\(\[ n_{t1}\]\)
-
\(\[ n_{i1}\]\)
)y1/R1 =
\(\[ n_{t1}\]\)
\(\[ a_{t1}\]\)
(formule.3)
Aangezien we uit de optica weten dat D = (
\(\[ n_{t1}\]\)
-
\(\[ n_{i1}\]\)
)/R1 geldt voor formule 3 het volgende:
\(\[ n_{i1}\]\)
\(\[ a_{i1}\]\)
-D*y1 =
\(\[ n_{t1}\]\)
\(\[ a_{t1}\]\)
Deze vergelijking wordt ook wel de refractievergelijking genoemd.
Neem nu twee voorwaarden aan:
1) y1 in de refractievergelijking is gelijk aan de afstand gemeten vanaf de optische as tot de plek waar de lichtstraat invalt.
2) De afstand van de optische as tot de plek waar de lichtstraat invalt is gelijk aan die van de optische as tot waar de lichtstraal gebroken wordt:
\(\[ y_{t1}\]\)
=
\(\[ y_{i1}\]\)
Nu volgen de volgende twee formules simpelweg uit de twee voorwaarden:
\(\[ n_{i1}\]\)
\(\[ a_{i1}\]\)
-D*
\(\[ y_{i1}\]\)
=
\(\[ n_{t1}\]\)
\(\[ a_{t1}\]\)
en
\(\[ y_{t1}\]\)
= 0 +
\(\[ y_{i1}\]\)
Deze vergelijkingen zijn nu als matrix te schrijven:
\(\[ n_{t1}\]\)
\(\[ a_{t1}\]\)
\(\[ y_{t1}\]\)
=
\(\[ \begin{bmatrix} 1 & -D \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]\)
*
\(\[ n_{i1}\]\)
\(\[ a_{i1}\]\)
\(\[ y_{i1}\]\)
De matrix in het midden is nu de refractiematrix. In de matrixoptica wordt in de eerste rij de initiele hoek met de optische as vermenigvuldigd met de brekingsindex weergegeven, in dit geval
\(\[ n_{i1}\]\)
\(\[ a_{i1}\]\)
waar in de tweede regel de initiele verticale afstand tot de optische as wordt weergegeven als
\(\[ y_{i1}\]\)
Als men deze matrix nu vermenigvuldigd met de verandering(in dit geval dus de refractiematrix) volgt het deel dat voor het = teken staat namelijk de hoek na breking tov. de optische as vermenigvuldigd met de hoek van de lichtstraal tov de optische as. In de tweede rij staat dan de nieuwe afstand tot de lichtstraal tov de optische as. Dit is de hoofdgedachte van de matrixoptica.
Die van de tranmissiematrix mag je zelf nog proberen. Als je er niet uitkomt zeg het maar. Ook kun je proberen die van een spiegelmatrix af te leiden. Succes!
Ps. Wat ik net heb afgeleid is sheet 7 van de goede sheets van depurperewolf. Deze sheets kan je goed gebruiken om verder te oefenen.
Groet, physicdude
