Springen naar inhoud

'afgeleide over r'


  • Log in om te kunnen reageren

#1

gehuigert

    gehuigert


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 juli 2010 - 23:06

f(x) is de functie als volgt gedefinieerd:

f(x) = x≤sin(1/x) voor x verschillend van 0
f(0)=0

De vraag daarbij: geef de afgeleide over R. Niet R zonder 0 ofzo.

De afgeleide buiten 0 is gemakkelijk te berekenen, het probleem bevindt zich dan ook niet daar maar wel voor de afgeleide in 0.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 juli 2010 - 00:56

Maak gebruik van de definitie van de afgeleide.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

gehuigert

    gehuigert


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 22:05

Maak gebruik van de definitie van de afgeleide.


limiet van h naar 0 van ( f(h) - f(0) ) / h?

Ik heb de limiet hier op een kladblad proberen uitrekenen maar geen resultaat bekomen

#4

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 22:56

Als je even kijkt naar de functie zelf.
- Een sinus heeft over het volledige domein een bereik van [-1, 1].
- Als je naar LaTeX kijkt, de factor voor de sinus, dan zie je dat deze hoe dichter je bij 0 komt steeds verder afvlakt. Sterker nog, de afgeleide op 0 is zelfs 0 (f'(x) = 2x). Het vervelende is echter dat je sinus roet in het eten gooit, omdat 1/x niet gedefinieerd is. Maar ongeacht wat er uit die sinus zou komen. De afgeleide op 0 zou toch 0 blijven. Hetzelfde geldt overigens voor de functie zelf, vandaar dat je de waarde 0 als een continue waarde in het gehele spectrum kunt beschouwen.

De afgeleide op f(0) is dus ook gewoon 0.

Mocht je er nog steeds niet zeker van zijn, plot de functie en haar afgeleide dan eens. Je zult zien dat beiden rondom de waarde gemiddeld steeds meer afvlakken (schommelen met dempende amplitude rondom de x-as).

#5

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 23:23

Zie ook nog even: Wolfram Alpha plot.

En uiteraard de beschrijving van de functie zelf: Nogmaals Wolfram alpha

#6

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juli 2010 - 23:54

En heb je de afgeleide ook eens nagekeken met Wolfram?
Die lijkt me niet naar 0 te gaan, met name door een term in cos(1/x).
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#7

gehuigert

    gehuigert


  • 0 - 25 berichten
  • 21 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 00:37

En heb je de afgeleide ook eens nagekeken met Wolfram?
Die lijkt me niet naar 0 te gaan, met name door een term in cos(1/x).


De afgeleide functie:

D(x≤sin(1/x)) = 2x * sin(1/x) + x≤ cos(1/x) * (-1/x≤) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x)

De eerste term nadert naar nul als x naar nul nadert, de tweede term blijft echter op en neer gaan tussen -1 en 1.

Het vreemde aan de vraag is dat het komt uit de vakantiecursus wiskunde van de universiteit

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 08:14

En heb je de afgeleide ook eens nagekeken met Wolfram?
Die lijkt me niet naar 0 te gaan, met name door een term in cos(1/x).

Inderdaad, je hebt gelijk. Behalve dat de functie gedempt wordt naarmate hij 0 nadert, heb je ook nog dat hij op de x-as soort van in elkaar gedrukt wordt.
En met een afgeleide van LaTeX is het niet verwonderlijk dat hij steeds meer rond in het bereik van [-1, 1] komt. En ik vraag me af of je er in dit geval met een limiet komt.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juli 2010 - 10:57

Het bepalen van de afgeleide met de gewone rekenregels kan je doen, maar dat levert alleen de afgeleide voor x verschillend van 0. In 0 zelf, moet je proberen de afgeleide te bepalen met de definitie, dus met een limiet. Inderdaad via:

limiet van h naar 0 van ( f(h) - f(0) ) / h?

Ik heb de limiet hier op een kladblad proberen uitrekenen maar geen resultaat bekomen

Schrijf eens op wat dit geeft.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 12:49

@TD:

Dan ben je vrij snel klaar. Zowel LaTeX als LaTeX levert je een niet bestaand limiet op. Van de originele functie zelf wel, van de afgeleide dus niet:
- http://www.wolframal...m_%...2sin(1/x)
- http://www.wolframal...m_%... sin(1/x)
- http://www.wolframal...m_%... cos(1/x)
- http://www.wolframal...m_%... cos(1/x)

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juli 2010 - 12:59

Ik weet niet wat je hiermee wil zeggen; de suggestie is niet de limiet van de afgeleide te nemen, maar de afgeleide in 0 te bepalen aan de hand van de definitie van de afgeleide in een punt (hetgeen ook een limiet is, zie eerdere quote). Het is natuurlijk de bedoeling dat de vragensteller dit even kan proberen; maar dat hoeft je niet tegen te houden om het zelf op papier ook al te proberen.

Het feit dat de limiet van de afgeleide functie voor x naar 0 niet bestaat (dat klopt), zal overigens ook iets interessants betekenen - maar daarvoor moet eerst de afgeleide in 0 zelf nog nagegaan worden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures