Extremumvergelijking opstellen

nLight

Binnen een dikke maand heb ik herexamen van Wiskunde Analyse, en ik zit nog altijd met een grote vraag.(Eén die me het vorige examen de das heeft om gedaan).

De vraag was als volgt : "Bepaal de punten op de kromme f(x,y) <->... die op een maximale afstand liggen van het vlak door M(0,4,0) en evenwijdig met het vlak door de eerste bissectrice."

Ik wist perfect hoe je een functie met 2 veranderlijken moet extremeren die tevens moet voldoen aan de envenvoorwaarde(n), maar ik vond de te extremeren functie niet!

Het probleem : Wat is de vergelijking van de te extremeren functie in dit vraagstuk?

Dit heb ik al : De vergelijking van dit vlak is volgens mij y - x - 4 = 0 (omvorming van y=x+4, z kan alle waarden aannemen). Hier zit ik vast : ik heb de vergelijking van dit vlak nu wel, maar wat moet er nu nog gebeuren om de te extremeren functie te zoeken?

Alvast bedankt,

Yannick

Xenion

Wat is de formule voor de afstand tussen een punt en een vlak?

nLight

\(\frac{|a*P1+b*P2+c*P3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

, met (P1,P2,P3) de coördinaten van dat punt en a,b en c de coëfficiënten in ax+by+cz +d = 0.

De vergelijking is dus : (-x+y -4 = 0 , a = -1 , b = 1, c = 0, d = -4)

\(\frac{|-1*x+1*y+0*z-4|}{\sqrt{-1^2+1^2+0^2}}\)

.

Ik denk dat de te extremeren functie dus

\(\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

x +

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

y -

\(\sqrt{8}\)

= 0 is. Als ik de absolute waarden weglaat en deze functie extremeer met een nevenvoorwaarde, dan zijn zowel de minima als de maxima eigenlijk maxima door het weglaten van de abs, klopt dit?

Bedankt,

Yannick

Safe

De vraag was als volgt : "Bepaal de punten op de kromme f(x,y) <->... die op een maximale afstand liggen van het vlak door M(0,4,0) en evenwijdig met het vlak door de eerste bissectrice."

Is dit de hele opgave?

Er zijn vele vlakken mogelijk door M(0,4,0), waarom is dit y-x-4=0?

Xenion

Safe schreef:Is dit de hele opgave?

Er zijn vele vlakken mogelijk door M(0,4,0), waarom is dit y-x-4=0?

Er is maar 1 dat evenwijdig is met de eerste bissectrice (y=x) ](*,)

nLight, wat is de vergelijking van de kromme precies?

nLight

Eerlijk gezegd weet ik niet juist meer wat deze kromme was, maar dat doet er toch niet veel toe? Het is de vergelijking

zelf die ik niet vond, hoe ik moet extremeren met nevenvoorwaarden lukt mij allemaal wel.

En ik bedoel dus het vlak door M evenwijdig met het vlak x+y=0, met z die alle reële waarden aanneemt.

Xenion

nLight schreef:Eerlijk gezegd weet ik niet juist meer wat deze kromme was, maar dat doet er toch niet veel toe? Het is de vergelijking

zelf die ik niet vond, hoe ik moet extremeren met nevenvoorwaarden lukt mij allemaal wel.

De methode bestaat erin dat je de functie op een of andere manier kan inbrengen in die vergelijking voor de afstand. Waarschijnlijk kan je z vervangen door f(x,y).

Ik zou ook eerder met het kwadraat van de afstand gaan rekenen, dan valt die lastige absolute waarde weg. Als het kwadraat minimaal is, dan zal de gewone functie ook wel minimaal zijn.

Is hiermee je vraag dan beantwoord?

nLight

De methode waar ik op doelde was de "multiplicatorenmethode van Lagrange", en daar is geen substitutie voor nodig.

Dus mijn uiteindelijke vergelijking is dan de reeds eerder geposte vergelijking in het kwadraat?

Deze dus : 1/2*x^2-x*y+1/2*y^2+4*x-4*y+8 = 0

Yannick

Xenion

Dus mijn uiteindelijke vergelijking is dan de reeds eerder geposte vergelijking in het kwadraat?

Ik heb het niet nagerekend, maar dat is wat ik zou doen.

Je methode voor het extremum te bepalen zal waarschijnlijk wel kloppen (ik moet bekennen dat ik de details zelf niet meer ken). Het moeilijkste is meestal van de te extremeren vergelijking op te stellen.

nLight

Volgens mij mag ik zelf de noemer weglaten uit vorige vergelijking (delen door de norm dus), omdat dit een constante.

Bedankt voor de hulp !

Yannick

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Extremumvergelijking opstellen

Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen

Re: Extremumvergelijking opstellen