Convergentie bepalen op rand

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 771

Convergentie bepalen op rand

Heel straight-forward vraagje: hoe bepaal je de convergentie van een reeks op de rand?

Simpel voorbeeld:
\( \sum_{n=0}^{inf} \frac{z^n}{\sqrt{(n+1)}} \)
Het is gemakkelijk in te zien dat de convergentiestraal hier gelijk is aan 1 en er dus convergentie is voor |z|<1

maar dan moet ik nog de convergentie bepalen op de rand en daarvoor weet ik niet echt hoe ik dit aanpak ^^

In men boek staat wat gezever over de reeks vermenigvuldigen met cos en sin en dat die reeksen dan convergent zijn, maar daar geraak ik niet veel wijzer uit...

( http://homepages.ulb.ac.be/~pcara/Teaching...formularium.pdf )

2de bladzijde onderaan

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convergentie bepalen op rand

Substitueer z = eit en gebruik eit = cos(t)+i.sin(t).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 771

Re: Convergentie bepalen op rand

Ok, maar moet ik dan van die 2 reeksen de convergentie bepalen ofzo?

dan krijg ik:
\( \sum_{n=0}^{inf} \frac{i*sin(nt)}{\sqrt{(n+1)}} + \sum_{n=0}^{inf} \frac{cos(nt)}{\sqrt{(n+1)}}\)
De limiet van de algemene term gaat inderdaad naar 0, ik neem aan dat ik dan nog een of andere convergentietest moet gebruiken..

en in het geval t=2k*pi , moet ik dat gewoon invullen en de convergentie bepalen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convergentie bepalen op rand

Inderdaad, dat geval wordt in die test uitgesloten dus dat moet je apart nagaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 771

Re: Convergentie bepalen op rand

Welke methode moet ik gebruiken om aan te tonen dat die reeksen convergent of divergent zijn?

als ik zou weten dat 1/sqrt(n) divergent is, kan ik het vergelijkingskenmerk gebruiken voor het geval t=2*pi

maar voor die reeks met cos en sin weet ik niet welke stelling ik moet gebruiken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convergentie bepalen op rand

Voor 1/sqrt(n) kan je de integraaltest gebruiken, of rechtstreeks steunen op de (gekende) convergentie van 1/np (convergent voor p>1, anders divergent).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer