Springen naar inhoud

Normale en tangentiŽle component versnelling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 12:17

Hallo,

ik zit (weer) met een probleem. Het volgende staat in mijn cursus.

We ontbinden de vectorversnelling a in 2 componenten:

 de tangentiŽle componente a_t gericht volgens de raaklijn aan de baan
 de normale componente a_n gericht volgens de normaal op de baan

Om a_n en a_t te berekenen bepalen we de stand van het punt P op zijn baan door de booglengte s = s(t). Men kan schrijven

v = ds/dt e_t
a = dv/dt = d≤s/dt≤ e_t + ds/dt de_t/dt

de_t/dt is de snelheidsvector van het eindpunt e_t, uitgezet vanuit een vast punt O. Dit eindpunt beschrijft een cirkel met eenheidsstraal vermits |e_t| = 1. De vector de_t/dt staat loodrecht op e_t en is bijgevolg gericht volgens de normaal n en de grootte is d phi/dt.



Ik snap dat men v kan schrijven als ds/dt e_t. (Ik denk dat) dat komt van v = ds/dt, waarin men s kan schrijven als se_t.

De uitwerking van a snap ik ook. Dat is gewoon de productregel toepassen.

Maar dan...

Dat de_t/dt de snelheidsvector is van e_t lijkt me logisch, maar waarom is e_t uitgezet vanuit een vast punt O? Wordt die O (als dat de oorsprong is) niet telkens in het punt van de baan gezet waarvan je de snelheid wilt weten? Die staat toch niet ergens vast in de ruimte? Anders zou je v toch niet kunnen schrijven als ds/dt e_t, want dan heb je meer dan ťťn component nodig om de snelheid in op te splitsen, tenzij de baan in dezelfde richting als e_t loopt, lijkt me?

Dat e_t een cirkel beschrijft: is dat omdat e_t altijd raakt aan je baan, en dus altijd wat draait? Dat |e_t| = 1 is gewoon een definitie (denk ik), dus dat snap ik.

Waarom staat de_t/dt loodrecht op e_t? Dat is de afgeleide, dus dat moet daar toch aan raken?

In ieder geval al bedankt voor het lezen! ](*,)
Vroeger Laura.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 juli 2010 - 12:44

Waarom staat de_t/dt loodrecht op e_t? Dat is de afgeleide, dus dat moet daar toch aan raken?



Heb je niet ergens eerder in je cursus bewezen dat de snelheidsvector loodrecht staat op de plaatsvector?

Edit: onder voorwaarde dat die plaatsvector een constante modulus heeft.

Veranderd door Xenion, 18 juli 2010 - 12:48


#3

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 12:57

Heb je niet ergens eerder in je cursus bewezen dat de snelheidsvector loodrecht staat op de plaatsvector?

Edit: onder voorwaarde dat die plaatsvector een constante modulus heeft.


Neen...
Vroeger Laura.

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 juli 2010 - 13:46

Beschouw een plaatsvector LaTeX met constante modulus:

Dat wil zeggen LaTeX

LaTeX (omdat r≤ constant is)

Als je die afgeleide van r≤ echter via de productregel uitrekent dan krijg je:
LaTeX (blijft natuurlijk nog steeds 0)

Wat betekent dat LaTeX

Lost dat je probleem op?

Veranderd door Xenion, 18 juli 2010 - 13:46


#5

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 13:47

Ik heb nog eens opgezocht, en wat je zegt over de snelheidsvector die loodrecht staat op de plaatsvector (als de plaatsvector een constante lengte heeft) heb ik nog een aantal keer gevonden op internet, maar telkens zonder een duidelijke uitleg.

Ik snap niet echt hoe dat kan. Als je afleidt (want snelheid is afgeleide van plaats naar de tijd), dan krijg je toch een raaklijn? Dus dat kan toch gewoon niet loodrecht zijn?

Trouwens: er staat echt NERGENS iets van in de cursus. En ik zou het wel weten denk ik, want ik zit nog maar op bladzijde 9, dus veel kans om over iets te lezen heb ik nog niet gehad ](*,)
Vroeger Laura.

#6

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 13:53

Wat betekent dat LaTeX



Lost dat je probleem op?


Ik volg tot daar. Hoe krijg je daar opeens uit dat die loodrecht op elkaar staan (sorry als dat een domme vraag is).

En ik zie wel dat het klopt, maar het is toch altijd zo bij afleiden dat je een raaklijn krijgt? Waarom hier dan niet?
Vroeger Laura.

#7

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 juli 2010 - 13:58

Ik volg tot daar. Hoe krijg je daar opeens uit dat die loodrecht op elkaar staan (sorry als dat een domme vraag is).

En ik zie wel dat het klopt, maar het is toch altijd zo bij afleiden dat je een raaklijn krijgt? Waarom hier dan niet?


Als bij een scalair product LaTeX geldt, dan betekent dat toch dat de 2 vectoren loodrecht op elkaar staan?

Ik vind het zelf ook moeilijk intuÔtief in te zien, maar als je kijkt naar het eenvoudige geval van de eenparige cirkelbeweging dan heb je in het middelbaar ook gezien dat de snelheid steeds raakt aan de cirkel. De plaatsvector is een vector die vertrekt vanuit het middelpunt van de cirkel, naar het punt waarin je kijkt en dat is dan eigenlijk een straal van de cirkel. Uit de meetkundige eigenschappen van de cirkel weet je dan dat de raaklijn aan de cirkel loodrecht staat op de straal in dat punt.

#8

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 14:10

Als bij een scalair product Bericht bekijken

Ik vind het zelf ook moeilijk intuÔtief in te zien, maar als je kijkt naar het eenvoudige geval van de eenparige cirkelbeweging dan heb je in het middelbaar ook gezien dat de snelheid steeds raakt aan de cirkel. De plaatsvector is een vector die vertrekt vanuit het middelpunt van de cirkel, naar het punt waarin je kijkt en dat is dan eigenlijk een straal van de cirkel. Uit de meetkundige eigenschappen van de cirkel weet je dan dat de raaklijn aan de cirkel loodrecht staat op de straal in dat punt.


Okť, bedankt! Mijn "maar-dat-is-toch-geen-raaklijn"-gevoel protesteert al heel wat minder ](*,)

de_t/dt is de snelheidsvector van het eindpunt e_t, uitgezet vanuit een vast punt O. Dit eindpunt beschrijft een cirkel met eenheidsstraal vermits |e_t| = 1. De vector de_t/dt staat loodrecht op e_t en is bijgevolg gericht volgens de normaal n en de grootte is d phi/dt.


Hoe zit het daar met dat vast punt O? Die e_t hoort toch bij het punt waarvan je de snelheid bepaalt?
Vroeger Laura.

#9

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 juli 2010 - 14:17

Hoe zit het daar met dat vast punt O? Die e_t hoort toch bij het punt waarvan je de snelheid bepaalt?


Die e_t is een eenheidsvector, in het punt op de baan, rakend aan de baan. Ik dťnk dat je dat 'vast punt O' eigenlijk moet beschouwen als het punt waarin je de snelheid bepaalt, maar dat is dan eigenlijk niet ťcht een vast punt. Het volgens mij de oorsprong van het relatief assenstelsel dat je definieert op de baan met die normale en tangentiŽle assen.

Dus het is wel vast, maar dan in de relatieve assen.

#10

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 15:49

Die e_t is een eenheidsvector, in het punt op de baan, rakend aan de baan. Ik dťnk dat je dat 'vast punt O' eigenlijk moet beschouwen als het punt waarin je de snelheid bepaalt, maar dat is dan eigenlijk niet ťcht een vast punt. Het volgens mij de oorsprong van het relatief assenstelsel dat je definieert op de baan met die normale en tangentiŽle assen.

Dus het is wel vast, maar dan in de relatieve assen.


Okť, heel hard bedankt ](*,)
Vroeger Laura.

#11

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 18:30

Okť, probleem nog niet opgelost, argh! ](*,)

phi.jpg

Deze tekening staat onder:

de_t/dt is de snelheidsvector van het eindpunt e_t, uitgezet vanuit een vast punt O. Dit eindpunt beschrijft een cirkel met eenheidsstraal vermits |e_t| = 1. De vector de_t/dt staat loodrecht op e_t en is bijgevolg gericht volgens de normaal n en de grootte is d phi/dt.


Het gaat dus over de laatste zin.

Dat e_t lengte 1 heeft is me duidelijk, dat is een eenheidsvector. de_t/dt is hoe veel e_t verandert doorheen de tijd, en gezien e_t een cirkel met straal 1 beschrijft (dus alleen de richting verandert, de lengte niet) denk ik wel een verband te zien tussen de verandering van de hoek phi (dus d phi/dt) en de verandering van e_t. En in dat geval kan ik dus wel aannemen dat de_t/dt en d phi/dt gelijk zijn.

Is dat juist? Zoja: kan iemand het iets duidelijker uitleggen zodat ik het iets duidelijker zie (nu is er gewoon "het gevoel" dat het iets met elkaar te maken heeft). Zonee: zou iemand me kunnen zeggen waar ik fout ben aub?
Vroeger Laura.

#12

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 juli 2010 - 19:31

Als je kijkt naar wat het concept hoeksnelheid inhoudt, zie je dat er een verband bestaat met de gewone snelheid: LaTeX

met LaTeX de hoeksnelheid, gedefinieerd als LaTeX .

Uit de eigenschap van het vectorieel product weet je dan dat voor de groottes het volgende geldt:

LaTeX

En omdat in dit geval r = 1 en LaTeX volgt dat LaTeX

#13

Tudum

    Tudum


  • >250 berichten
  • 412 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2010 - 19:42

En omdat in dit geval r = 1 en LaTeX

volgt dat LaTeX


Ah, okť, bedankt ](*,)

(wel raar, hoeksnelheid komt pas over een paar bladzijden...)
Vroeger Laura.

#14

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 juli 2010 - 20:00

Ah, okť, bedankt ;)

(wel raar, hoeksnelheid komt pas over een paar bladzijden...)


Mechanica is een moeilijk vak ](*,) Sorry als ik met dingen af kom die misschien eenvoudiger kunnen aangetoond worden, maar ik grijp zelf nogal graag terug naar eigenschappen en definities omdat ik deze zaken zelf nogal moeilijk vind om in te zien.

Je hebt in het middelbaar normaal de ECB gezien, daar heb je waarschijnlijk het verband w=v*r wel al gezien. Daarom dat ze misschien hier verwachten dat je het intuÔtief wel makkelijk inziet?

#15

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 09:32

Het punt is dat een vector op 2 manier kan veranderen, in grootte en in richting.
Als we de grootte constant houden en alleen hem van richting veranderen, kan hij idd alleen maar een cirkelbeweging maken rond de oorsprong. En dus voor een cirkelbeweging ( zoals Xenion zei ), zal v loodrecht op r staan om de simpele reden dat v =w X r en v dus loodrecht op r staat ( en op w ). Dat is nu eenmaal een eigenschap van het vectorieel product.

Het is trouwens v = wr voor een cirkelbeweging (voor de duidelijkheid)

Veranderd door aestu, 19 juli 2010 - 09:33






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures