Springen naar inhoud

Maximum bepalen met afgeleide


  • Log in om te kunnen reageren

#1

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 17:13

Gegeven een cirkelsector met straal a en openingshoek 2*w. Bepaal de afmetingen (=hoogte en breedte) van de rechthoek met maximale oppervlakte die in deze sector kan worden getekend.

Wel men werkt hier met een 2e cirkelsector met openingshoek T, waarbij de koorde van die cirkelsector de juiste zijde vormt voor de rechthoek vormt.
Nu zeggen ze:

b=2*a*sin(T)
h=a*cos(T)-b/(2*tan(w))

Hierbij is de breedte en h de hoogte...
Ik heb reeds een tekening gemaakt (op papier, kan niet werken in paint en heb geen scanner....), maar ik zie niet goed hoe je hier aan komt?

Kan iemand me helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 18:34

Ik zou toch even proberen om een tekening hier op te krijgen. Erg duidelijk is het allemaal niet.

Bedoel je gewoon dat de vraag is:
- Je hebt een cirkelsegment met een booghoek van 2*w radialen en straal a?
- Vind binnen dit cirkelsegment de grootst mogelijke rechthoek?

Je bent met mij eens dat deze rechthoek twee zijden evenwijdig heeft t.o.v. de lijn die vanuit het middelpunt naar de helft van de booglengte van het cirkelsegment loopt? En twee zijden die daar een rechte hoek op maken?

Veranderd door JWvdVeer, 19 juli 2010 - 18:38


#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 19 juli 2010 - 19:24

Die tweede cirkelsector heeft openingshoek 2T met T<w.
Waarom is de zijde b evenwijdig de koorde gelegd? Is dat gegeven?

#4

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2010 - 22:12

Wel, niet in de oorspronkelijke opgave. Maar er stond als hint:
we kunnen beredeneren dat de maximale oppervlakte zal worden bereikt als de rechthoek symmetrisch ligt tov de bissectrice van de openingshoek van de sector
[en dus een zijde evenwijdig met de koorde zal hebben]

En op je vorige vraag is het antwoord twee keer ja

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 juli 2010 - 11:08

OK.
De b en h zijn juist, heb je daar een vraag over?

#6

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 16:37

Ja, eigenlijk vooral daarover....

Ik weet wel hoe je normaal maxima bepaalt met afgeleiden, maar ik zie niet hoe je aan die b en h geraakt...
Het is al een tijdje geleden dat ik met cirkelsectors en dergelijke heb gewerkt...

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 juli 2010 - 16:51

Heb je een goede tekening? Laat die eens zien.

#8

6wewia

    6wewia


  • >250 berichten
  • 288 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 18:37

Heb je een goede tekening? Laat die eens zien.

Wel zoals ik al zei:
"Ik heb reeds een tekening gemaakt (op papier, kan niet werken in paint en heb geen scanner....), maar ik zie niet goed hoe je hier aan komt?"

Maar mijn leerkracht zei wel dat de tekening goed was, dus ja...
Ik wil wel proberen in paint maar ik denk dat ze dan nogal onduidelijk zal zijn.

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 juli 2010 - 19:05

OK, je hebt een sector met symmetrielijn. Je hebt b met snijptn AB op de cirkel en ABCD als rechthoek op de omtrek van de sector, middelpunt M. Noem de snijptn van de symmetrielijn met DC en AB resp Q en P. Dan zijn er twee rechth drhkn MPA en MQD met PA=QD=b/2. <QMD=w en <PMA=T. MA=a.
Nu volgt: sin(T)=(b/2)/a => b=2asin(T)
Verder: cos(T)=MP/a => MP=acos(T)
Stel MQ=x => tan(w)=(b/2)/x => x=(b/2)/tan(w)=b/(2tan(w)), dus h=MP-MQ=acos(T)-x=acos(T)-b/(2tan(w)).

Ga dit zorgvuldig na!

#10

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 19:17

Stel we hebben een cirkelsegment A met een booghoek 2w. En we hebben ook nog een cirkelsegment met hoek 2T. De bisectrices van beide cirkelsegmenten liggen over elkaar.
De voorwaarde die geldt is: LaTeX . Dat laatste is niet gegeven, maar kun je opmaken uit je tekening en tevens uit de formules die gegeven zijn.

Je krijgt dan deze situatie (heb hem maar even getekend voor je, had je zelf naar mijn mening ook heel goed kunnen doen, ondanks dat je geen scanner hebt of het in paint kunt doen (er ook al aan gedacht dat een camera ook werkt?)).
cirkelsectoren.GIF .


Als je deze situatie ziet, is b sowieso vrij eenvoudig te berekenen. Vervolgens moet h ook niet meer moeilijk zijn.

b bestaat uit de kortste afstand tussen de twee uiterste punten van de koorde die de cirkelsector T gemeen heeft met de omtrek van de cirkel. Deze kun je eenvoudig berekenen met twee driehoekzijden te berekenen. Namelijk, twee keer een driehoek met schuine zijde met lengte a en hoek van T.

SOS: LaTeX

Als je deze situatie zo ziet, druk dan h eens uit?

#11

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 19:57

Het stuk van Safe even gevisualiseerd: cirkelsectoren.GIF .

Hierin geldt dat LaTeX .
Je rekent eerst het lijnstuk PR uit en trekt daar het lijnstuk QR vanaf:
LaTeX (substitutie: LaTeX ).
LaTeX (substitutie: LaTeX )

LaTeX

#12

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juli 2010 - 20:44

@JWvdVeer, ik volg dit topic niet echt grondig, maar je tekening verwart me. Is de opgave niet van een rechthoek te vinden die binnen de cirkelsector, gedefiniŽerd door de hoek 2w past? Ik denk niet dat je de uitleg van Safe correct getekend hebt.


Hier een juiste tekening (ze is niet zo heel duidelijk, maar met de uitleg van Safe erbij zou ze moeten helpen).

OK, je hebt een sector met symmetrielijn. Je hebt b met snijptn AB op de cirkel en ABCD als rechthoek op de omtrek van de sector, middelpunt M. Noem de snijptn van de symmetrielijn met DC en AB resp Q en P. Dan zijn er twee rechth drhkn MPA en MQD met PA=QD=b/2. <QMD=w en <PMA=T. MA=a.
Nu volgt: sin(T)=(b/2)/a => b=2asin(T)
Verder: cos(T)=MP/a => MP=acos(T)
Stel MQ=x => tan(w)=(b/2)/x => x=(b/2)/tan(w)=b/(2tan(w)), dus h=MP-MQ=acos(T)-x=acos(T)-b/(2tan(w)).

Ga dit zorgvuldig na!

Bijgevoegde afbeeldingen

  • vraafstuk_cirkelsector.jpg

Veranderd door Xenion, 20 juli 2010 - 20:53


#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 juli 2010 - 21:10

@Xenion,
Bedankt voor de tekening, eigenlijk vond ik dat hij de tekening zelf moest maken. Ik hoop dat het 6wewia nu iig lukt.

#14

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2010 - 21:10

Xenion: we hebben exact dezelfde tekening. Alleen heb ik de punten iets anders genoemd dan jij en Safe. Ik was namelijk al bezig met de visualisatie toen ik de reactie van Safe pas zag (had hem gewoon gemist en had de tekening toen al gemaakt), vandaar dat ze niet exact dezelfde noemers gebruiken. Maar het idee is exact hetzelfde.

Daarnaast Heb ik ook gedacht vanuit het middelpunt. Terwijl ik het idee heb dat Safe gedacht heeft vanuit LaTeX , waardoor minder of geen substitutie nodig was om hetzelfde idee te bereiken.

Veranderd door JWvdVeer, 20 juli 2010 - 21:13


#15

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 juli 2010 - 21:16

Xenion: we hebben exact dezelfde tekening.


Je hebt gelijk, ik was een beetje in de war omdat je cirkelsector zo'n grote hoek heeft ;) Als illulstratie van Safe's uitleg is hij wel niet correct, qua benamingen (zoals je zelf al aangeeft).

@Safe, dat dacht ik wel, maar ik ging ervan uit dat jouw uitleg in combinatie met de illustratie van JWvdVeer alleen maar voor meer verwarring zou zorgen, aangezien ze niet compatibel zijn ](*,)
De uitleg had hij overigens ook zelf moeten vinden, meestal vertrek je van de tekening, niet van de oplossing.

Veranderd door Xenion, 20 juli 2010 - 21:17






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures