Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 581
Hoe los ik deze ongelijkheid op?
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \)
Het is duidelijk dat alle waarden x < 1 tot de oplossing behoren,
maar hoe bereken ik dat?
(dit lijkt eenvoudig, maar ik zie het echt niet...)
---WAF!---
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Splitsen in x<0 en x>=0, wat is dan |x|?
-
- Berichten: 581
Zo kom ik er niet.
Als ik de gegeven ongelijkheidn opsplits in 2 gevallen, met x<0 en met x>=0, dan krijg ik:
\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)
en
\( \frac{x+2}{x-1} \leq 1 \)
De tweede geeft nonsens
\( 2 \leq -1 \)
, dus geen oplossing in dit geval
en de eerste geeft mij
\( x \geq \frac{3}{2} \)
wat niet correct is.
Wat doe ik hier fout?
---WAF!---
Bericht
22-07-'10, 17:55
TD
-
- Berichten: 24.578
en de eerste geeft mij
\( x \geq \frac{3}{2} \)
Is dat het enige dat daar uitrolt? Dan verlies je onderweg toch iets. Toon eventueel je uitwerking eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \longrightarrow x^2 \leq (x+1)^2\)
Bericht
22-07-'10, 17:57
TD
-
- Berichten: 24.578
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \)
Deze stap geldt niet voor alle x, daar moet je voorzichtig mee zijn (zo verlies je mogelijk oplossingen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 581
Is dat het enige dat daar uitrolt? Dan verlies je onderweg toch iets. Toon eventueel je uitwerking eens.
\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)
\( -x+2 \leq x-1 \)
\( -2x \leq -3 \)
\( x \geq \frac{3}{2}\)
---WAF!---
Bericht
22-07-'10, 18:02
TD
-
- Berichten: 24.578
Westy schreef:\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)
\( -x+2 \leq x-1 \)
Dit is waar voor x-1>0; maar niet voor x-1<0. Helpt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 581
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \longrightarrow x^2 \leq (x+1)^2\)
moet dat niet
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \longrightarrow x^2 \leq (x-3)^2\)
zijn?
---WAF!---
Bericht
22-07-'10, 18:06
TD
-
- Berichten: 24.578
Het loopt daarvoor al mis (zelfde reden als bij jou), dus ik zou daar voorlopig niet mee verder gaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 581
Dit is waar voor x-1>0; maar niet voor x-1<0. Helpt dat?
Ik had al begrepen dat het probleem daar zat,
Maar ik was hier bezig met het geval x<0;
dan is dus ook x-1 < 0
dan moet het als volgt?
\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)
\( -x+2 \geq x-1 \)
---WAF!---
Bericht
22-07-'10, 18:24
TD
-
- Berichten: 24.578
Inderdaad, de zin van de ongelijkheid keert om wanneer je beide leden met iets negatief vermenigvuldigt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 581
Is dit dan de juiste volledige werkwijze?
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \)
geval1:
x-1 >= 0 ofwel x >= 1
dan krijg ik:
\( |x|+2 \leq x-1 \)
wat geeft (aangezien x>0)
\( x+2 \leq x-1 \)
of
\( +2 \leq -1 \)
wat nonsens is - geen oplossing voor geval 1
geval2:
x-1 < 0 ofwel x<1
dan krijg ik:
\( |x|+2 \geq x-1 \)
Dit geval splits ik dan opnieuw op in 2 mogelijkheden: x pos. of x neg. :
x pos.
dus: 0 <= x < 1
geeft: x+2 >= x-1
dus: 2 >= -1
dit klopt altijd
x neg.
dus: x < 0
geeft: -x+2 >= x-1
dus: -2x >= -3
of x <= 3/2
wat ook klopt als x < 1
dus oplossing x < 1
---WAF!---
Bericht
22-07-'10, 18:38
TD
-
- Berichten: 24.578
Ziet er goed uit; oplossing klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)