Ongelijkheid met abs. waarde

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Ongelijkheid met abs. waarde

Hoe los ik deze ongelijkheid op?
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \)
Het is duidelijk dat alle waarden x < 1 tot de oplossing behoren,

maar hoe bereken ik dat?

(dit lijkt eenvoudig, maar ik zie het echt niet...)
---WAF!---

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Splitsen in x<0 en x>=0, wat is dan |x|?

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Zo kom ik er niet.

Als ik de gegeven ongelijkheidn opsplits in 2 gevallen, met x<0 en met x>=0, dan krijg ik:
\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)
en
\( \frac{x+2}{x-1} \leq 1 \)
De tweede geeft nonsens
\( 2 \leq -1 \)
, dus geen oplossing in dit geval

en de eerste geeft mij
\( x \geq \frac{3}{2} \)
wat niet correct is.

Wat doe ik hier fout?
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

en de eerste geeft mij
\( x \geq \frac{3}{2} \)
Is dat het enige dat daar uitrolt? Dan verlies je onderweg toch iets. Toon eventueel je uitwerking eens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 1.116

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \longrightarrow x^2 \leq (x+1)^2\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \)
Deze stap geldt niet voor alle x, daar moet je voorzichtig mee zijn (zo verlies je mogelijk oplossingen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Is dat het enige dat daar uitrolt? Dan verlies je onderweg toch iets. Toon eventueel je uitwerking eens.

\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)

\( -x+2 \leq x-1 \)

\( -2x \leq -3 \)

\( x \geq \frac{3}{2}\)
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Westy schreef:
\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)

\( -x+2 \leq x-1 \)
Dit is waar voor x-1>0; maar niet voor x-1<0. Helpt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \longrightarrow x^2 \leq (x+1)^2\)
moet dat niet
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \longrightarrow |x|+2 \leq {x-1} \longrightarrow x^2 \leq (x-3)^2\)
zijn?
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Het loopt daarvoor al mis (zelfde reden als bij jou), dus ik zou daar voorlopig niet mee verder gaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Dit is waar voor x-1>0; maar niet voor x-1<0. Helpt dat?
Ik had al begrepen dat het probleem daar zat,

Maar ik was hier bezig met het geval x<0;

dan is dus ook x-1 < 0

dan moet het als volgt?
\( \frac{-x+2}{x-1} \leq 1 \)
\( -x+2 \geq x-1 \)
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Inderdaad, de zin van de ongelijkheid keert om wanneer je beide leden met iets negatief vermenigvuldigt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Is dit dan de juiste volledige werkwijze?
\( \frac{|x|+2}{x-1} \leq 1 \)
geval1:

x-1 >= 0 ofwel x >= 1

dan krijg ik:
\( |x|+2 \leq x-1 \)
wat geeft (aangezien x>0)
\( x+2 \leq x-1 \)


of
\( +2 \leq -1 \)
wat nonsens is - geen oplossing voor geval 1

geval2:

x-1 < 0 ofwel x<1

dan krijg ik:
\( |x|+2 \geq x-1 \)
Dit geval splits ik dan opnieuw op in 2 mogelijkheden: x pos. of x neg. :

x pos.

dus: 0 <= x < 1

geeft: x+2 >= x-1

dus: 2 >= -1

dit klopt altijd



x neg.

dus: x < 0

geeft: -x+2 >= x-1

dus: -2x >= -3

of x <= 3/2

wat ook klopt als x < 1

dus oplossing x < 1
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

Ziet er goed uit; oplossing klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Ongelijkheid met abs. waarde

ok, bedankt
---WAF!---

Reageer