Bepaling divergentie (twee manieren)

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 40

Bepaling divergentie (twee manieren)

Beste forumgenoten,

Al een tijdje ben ik me aan het stukbijten op een bepaling van de divergentie van een vectorveld op twee verschillende manieren (om een beter begrip te krijgen van divergentie). De manieren die ik wil onderzoeken (en op hetzelfde antwoord uit wil komen zijn):

1. Bepaling divergentie via Christoffelsymbolen

2. Bepaling divergentie op klassieke wijze (carthesische coordinaten)

Nu heb ik als vectorveld genomen:
\(\usepackage{}\mathbf{v} = 3\mathbf{c}_{r} - \mathbf{c}_{\varphi} + 2\mathbf{c}_{\varsigma}\)
waarbij helicoidale coordinaten worden bekeken:
\(\mathbf{x}(r,\varphi,\varsigma) = (2rcos(\varphi), 3rsin(\varphi), \varphi + \varsigma)\)


zodat:
\(\mathbf{c}_{r} = \partial _{r} \mathbf{x} = (2cos(\varphi), 3sin(\varphi), 0)\)
\(\mathbf{c}_{\varphi} = (-2rsin(\varphi), 3rcos(\varphi), 1)\)
\(\mathbf{c}_{\varsigma} = (0,0,1)\)
Hieruit vloeit voort dat de Christoffelsymbolen als volgt zijn (overige symbolen nul):
\(\Gamma_{\varphi r}^{\varphi} = \Gamma_{r \varphi}^{\varphi} = \frac{1}{r} \)
\(\Gamma_{\varphi r}^{\varsigma} = \Gamma_{r \varphi}^{\varsigma} = -\frac{1}{r} \)
\(\Gamma_{\varphi \varphi}^{r} = -r \)
1. Geschreven kan worden:
\( div \mathbf{v} = \nabla _{\alpha}v^{\alpha} = v_{;\alpha}^{\alpha} =v_{;r}^{r} + v_{;\varphi}^{\varphi}+ v_{;\varsigma}^{\varsigma}\)


waarbij bijvoorbeeld
\( v_{;r}^{r} = \partial_{r}v^{r} + \Gamma_{r \beta}^{r}v^{\beta} \)
(auto-summation over
\( \beta \)
)

Dit kort uitwerken levert:
\( div \mathbf{v} = \frac{3}{r} \)


Echter vermoed ik hier dat er een fout zit aangezien ik voor de componenten van de vector (
\( v^{\alpha} \)
) de volgende waarden heb gepakt:
\( v^{r} = 3 \)
\( v^{\varphi} = -1 \)
\( v^{\varsigma} = 2 \)
De componenten van de vector zouden moeten volgen uit:
\( \mathbf{v} = v^{\alpha} \partial_{\alpha} \)
, alleen zie ik niet precies hoe dit gaat... Dit is waarschijnlijk een fout die ik maak (?).

2. Via carthesische coordinaten:
\(\mathbf{v} = 3\mathbf{c}_{r} - \mathbf{c}_{\varphi} + 2\mathbf{c}_{\varsigma} = (uitschrijven) = [(6cos(\varphi)+2rsin(\varphi)), (9sin(\varphi)-3rcos(\varphi)) , 1)\)
Neem nu:
\( x = 2rcos(\varphi) \)
\( y = 3rsin(\varphi) \)
\( z = \varphi + \varsigma\)
Ofwel:
\(\mathbf{v} = [(\frac{3}{r}x+\frac{2}{3}y), (\frac{3}{r}y-\frac{3}{2}x), 1(?))\)
Wat uiteindelijk dus opleverd (op klassieke wijze):
\( div \mathbf{v} = \frac{6}{r} \)


Het antwoord is dus niet gelijk aan elkaar, bij deze laatste manier ben ik niet zeker van de (1). Ofwel, ik ben niet zeker of mijn uitdrukking van de vector in carthesische coordinaten correct is...

Mijn (sterke) vermoeden is dat de fout bij 1. ligt, bij de componenten van de vector..

Zou iemand mij kunnen helpen? ( Alvast bedankt voor de moeite!)

Berichten: 40

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

Niemand die ziet waar ik de mist in ga:(?

Berichten: 254

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

\(\usepackage{}\mathbf{v} = 3\mathbf{c}_{r} - \mathbf{c}_{\varphi} + 2\mathbf{c}_{\varsigma}\)
Wat is die c_r eigenlijk?

Is
\(c_r = \frac{\partial}{\partial r}\)
?

Maak je gebruik van
\( \nabla_{\frac{\partial}{\partial x^i}} \frac{\partial}{\partial x^k}= \Gamma^j_{ik}\frac{\partial}{\partial x^j} \)
?

en
\(v = v^j \partial_j = v^j \frac{\partial y^k}{\partial x^j} \frac{\partial }{\partial y^k} \)

Berichten: 40

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

Die c's kun je zien als:
\($\mathbf{c}$_{\alpha}= \partial_{\alpha}$\mathbf{x}$ = \frac{\partial}{\partial \alpha} $\mathbf{x}$\)
Voor de bepaling van de Christoffelsymbolen maak ik gebruik van:
\($\partial_{\alpha} $\mathbf{c}$_{\beta}$=$\Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma} $\mathbf{c}$_{\gamma}$\)
En inderdaad, die compenten van v die volgen uit de vorm:
\(v = v^j \partial_j \)
ben ik allerminst zeker van en zie ik niet precies hoe ik deze bepaal... Bij de bovenstaande uitwerking heb ik gebruik gemaakt van:
\( v^{r} = 3 \)
\( v^{\varphi} = -1 \)
\( v^{\varsigma} = 2 \)

Berichten: 254

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

Nja, ik geraak er niet zo goed aan uit...

Welke coordinaatfuncties worden hier als basis gebruikt voor v?
\(\usepackage{}\mathbf{v} = 3\mathbf{c}_{r} - \mathbf{c}_{\varphi} + 2\mathbf{c}_{\varsigma}\)
de
\( \frac{\partial }{\partial x^i} \)
of
\( \frac{\partial }{\partial \xi^i} \)
met ksi^i = r,phi of zeta en x^i= x,y of z

Wordt er gesommeerd over gamma in de bepalingsformule voor de christoffelsymbolen?

Heb je niet gewoon de metriek? (helse oefening om het met de metriek te doen) Ik heb het nog nooit zo uitgerekend eerlijk gezegd.

Iemand anders?

Berichten: 40

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

De
\( \frac{\partial }{\partial \xi^i} \)
worden gebruikt als basis.

Ja, er wordt gesommeerd over gamma. Echter twijfel ik er niet aan dat de christoffelsymbolen juist zijn. Dit heb ik kort uitgewerkt met de hand en gecontroleerd via Maple.

Iemand anders die enig idee heeft en er licht over wil laten schijnen?

Berichten: 254

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

Het enigste wat ik nog kan bedenken is dat het iets te maken heeft met
\(\Gamma^{\phi}_{\phi r} \)
en
\( \Gamma^{\phi}_{r \phi} \)
Maar nu ben ik aan het gokken en dat is gevaarlijk.

Berichten: 40

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

\( \Gamma^{\phi}_{r \phi} \)
=
\( \Gamma^{\phi}_{ \phi r} \)


Dat is inderdaad waar. Bedankt iig voor de moeite!

Berichten: 40

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

Toch zie ik niet waar ik de mist in ga, zoals ik al vermoedde bij de componenten van de vector v.

Berichten: 40

Re: Bepaling divergentie (twee manieren)

Probleem bestaat jammer genoeg nog... Is er niemand die een heldere visie op dit probleem heeft ](*,) ?

Gegroet!

Reageer