Horizontale asymptoten bij rationale functies

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 26-07-'10, 21:44

mcfaker123

Gebruikersavatar
Berichten: 1.129

Horizontale asymptoten bij rationale functies

Hallo, in het onderstaande voorbeeld zien we dat men eerst de horizontale asymptoot bepaalt door met limieten te werken,

daarna wil men de functie tekenen, daarvoor is de ligging van de functie noodzakkelijk.

Maar ik zie dus dat ze 2 aftrekken, waardoor de functie met 2 eenheden nr beneden gaat. Waarom doen ze dat? Waarom willen ze nu dat de functie 2 eenh. nr beneden gaat en dus als horizontale asymp y=0 krijgt?

En daarna zie ik nog dat er 3 pijltjes vertrekken vannuit (x-1)/(x²+x+1).

Na die 3 pijltjes zien we een blokje tekst ( <0, >0 en =0), en mijn 2de vraag gaat over het blokje tekst: Hoe komen ze aan die informatie,

Hoe bekomen ze bijvoorbeeld dat als x ;) ](*,) dat dan (x-1)/(x²+x+1)<0 ?

Hartelijk Bedankt! :)

Afbeelding
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:13

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

Vind je het zo logischer:
\(\frac{2 x^2 + 3 x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{2 x^2 + (2 x + x) + (2 - 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{2 x^2 + 2 x + 2 + x - 1)}{x^2 + x + 1}\)
\(= \frac{2 (x^2 + x + 1) + (x - 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{2 (x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} + \frac{x - 1}{x^2 + x + 1} = 2 + \frac{x - 1}{x^2 + x + 1}\)


Ken je l'Hopital? Zo ja, pas deze eens toe op de breuk.
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:16

mcfaker123

Gebruikersavatar
Berichten: 1.129

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

EvilBro schreef:Vind je het zo logischer:
\(\frac{2 x^2 + 3 x + 1}{x^2 + x + 1} = \frac{2 x^2 + (2 x + x) + (2 - 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{2 x^2 + 2 x + 2 + x - 1)}{x^2 + x + 1}\)
\(= \frac{2 (x^2 + x + 1) + (x - 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{2 (x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} + \frac{x - 1}{x^2 + x + 1} = 2 + \frac{x - 1}{x^2 + x + 1}\)


Ken je l'Hopital? Zo ja, pas deze eens toe op de breuk.


ja, maar ik weet wel dat dat eerste gelijk is aan dat laatste, maar dat betekent toch niet dat je -2 mag doen?
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:20

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

Maar ik zie dus dat ze 2 aftrekken, waardoor de functie met 2 eenheden nr beneden gaat. Waarom doen ze dat? Waarom willen ze nu dat de functie 2 eenh. nr beneden gaat en dus als horizontale asymp y=0 krijgt?
Ik denk dat, door de gegeven functie met 2 eenheden te laten zakken deze assymptoot y=2 naar beneden verschuift, naar y=0, dat is dus de x-as. Daar kan men dan met een tekenonderzoek (zie hieronder) zien of de nieuwe f(x) waarde pos of neg is, maw of de functie de nieuwe (verschoven) assymptoot nadert langs boven of langs onder, zodat je weet hoe je de functie moet tekenen.
Na die 3 pijltjes zien we een blokje tekst ( <0, >0 en =0), en mijn 2de vraag gaat over het blokje tekst: Hoe komen ze aan die informatie, Hoe bekomen ze bijvoorbeeld dat als x ;) ](*,) dat dan (x-1)/(x²+x+1)<0 ?
Weet je hoe je een tekenonderzoek moet doen voor de functie
\( f(x)=\frac{x-1}{x^2+x+1}\)
?

(nulpunten teller en noemer zoeken, tabel maken, tekens bepalen enz...)

Dan zal je zien als x naar
\(- \infty \)
gaat f(x)<0 is, enz.

Lukt dat?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:26

mcfaker123

Gebruikersavatar
Berichten: 1.129

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

Westy schreef:Ik denk dat, door de gegeven functie met 2 eenheden te laten zakken deze assymptoot y=2 naar beneden verschuift, naar y=0, dat is dus de x-as. Daar kan men dan met een tekenonderzoek (zie hieronder) zien of de nieuwe f(x) waarde pos of neg is, maw of de functie de nieuwe (verschoven) assymptoot nadert langs boven of langs onder, zodat je weet hoe je de functie moet tekenen.

Weet je hoe je een tekenonderzoek moet doen voor de functie
\( f(x)=\frac{x-1}{x^2+x+1}\)
?

(nulpunten teller en noemer zoeken, tabel maken, tekens bepalen enz...)

Dan zal je zien als x naar
\(- \infty \)
gaat f(x)<0 is, enz.

Lukt dat?
oo, ik snap het, tekenonderzoek is dus hetzelfde als tekenverloop, dat had ik al 1 jaar niet door, Dankuwel ](*,)

Dat stukje tekst geldt dan ook voor de nieuwe asymptoot ( y=2) ?
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:29

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

Met een tekenonderzoek controleer je voor welke x de bijhorende f(x) positief, negatief, nul is of evt niet bestaat. Een tabelletje met nulpunten van teller en noemer is daar een handig hulpmiddel voor.
---WAF!---
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:36

mcfaker123

Gebruikersavatar
Berichten: 1.129

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

maar eigenlijk kan je ook gewoon de functie niet verschuiven, en van deze functie: (2x²+3x+1)/(x²+x+1) het tekenonderzoek berekenen en de grafiek tekenen nietwaar?
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 22:44

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

Nee, want de hor. assymptoot ligt op y=2, en als de functie deze nadert langs onder of langs boven, dan kan f(x) steeds positief zijn, omdat de assymptoot boven de x-as ligt...

Wat je evt wel kan doen is voor enkele x waarden ( bvb een zeer grote, zeg maar +1000 en een zeer kleine bvb -1000) de y waarden uitrekenen en als die >2 is, dan nadert de functie de assymptoot langs boven, en is die <2, langs onder... (alhoewel dit systeempje niet waterdicht is, (als er bvb nog nulpunten zouden zitten voor de -1000 of voorbij voorbij de 1000, dan klopt het niet), daarom is een tekenonderzoek exacter. )
---WAF!---
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 23:02

mcfaker123

Gebruikersavatar
Berichten: 1.129

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

Ok, bedankt ik denk dat ik het snap. Ik apprecieer het echt ](*,)
Omhoog

Bericht 26-07-'10, 23:03

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Horizontale asymptoten bij rationale functies

no problemo
---WAF!---
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”