Springen naar inhoud

F(x)f'(x) = g(x). oplostechniek?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2010 - 16:35

Door het topic [natuurkunde] Puntmassa langs rechte baan, bereken versnelling, kwam ik in aanraking met een soort wiskundige problematiek die mij nog volledig onbekend was.
Namelijk veralgemeniseerd:
LaTeX



Op zich was het probleem in het gestelde topic nog wel goed op te lossen, zonder dat ik dit eerder had gezien.
LaTeX

Gezien we in de afgeleiden en de integralen zitten, vond ik het heel aannemelijk dat het er uit zou zien als:
LaTeX

De functiegroep die hier wel passend zou zijn, leken mij de wortelfuncties:
LaTeX

Voor onze situatie gold dus:
LaTeX



De oplossing was dus:
LaTeX
De rest van de opdracht was het kloppend maken met de voorwaarden:
LaTeX


In het algemeen is dus de oplossing voor: LaTeX
Wat ik me naar aanleiding van dit topic afvroeg was: Stel dat g(x) nu geen constante is, maar een gewone functie. Dus bijv. LaTeX , LaTeX of LaTeX . Is er dan een bepaalde oplosmethode? Kun je dat dan Łberhaupt oplossen? En is er maar ťťn mogelijke oplossing? Of zijn er meerdere, waar ik dan per ongeluk niet aan gedacht heb?


Als er wat literatuur over dit soort problematiek is, dan is deze uiteraard ook welkom.

Veranderd door JWvdVeer, 27 juli 2010 - 16:39


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 juli 2010 - 16:40

Als er wat literatuur over dit soort problematiek is, dan is deze uiteraard ook welkom.


Dit is een niet lineaire differentiaalvergelijking. Die hebben voor zover ik weet geen algemene oplossing. Als ik het mij goed herinner los je die op via goedgekozen substituties, zodat de vergelijking lineair wordt of herleid wordt naar een differentiaalvergelijking die wel lineair is en vervolgens eenvoudiger op te lossen.

Voor meer informatie kan je eens zoeken naar cursussen analyse van 1e Bachelor wiskunde, burgerlijk ingenieur of fysica. Op internet is waarschijnlijk ook vanalles te vinden.
Dit was mijn cursus: http://student.vub.a...pe/analyse2.pdf (blijkbaar (tijdelijk?) offline)

Veranderd door Xenion, 27 juli 2010 - 16:43


#3

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2010 - 16:43

Dit is een niet lineaire differentiaalvergelijking. Die hebben voor zover ik weet geen algemene oplossing. Als ik het mij goed herinner los je die op via goedgekozen substituties, zodat de vergelijking lineair wordt of herleid wordt naar een differentiaalvergelijking die wel lineair is en vervolgens eenvoudiger op te lossen.

Bedankt voor het snelle antwoord. Heb je zo ook een voorbeeld hiervan?

#4

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 juli 2010 - 16:51

Bedankt voor het snelle antwoord. Heb je zo ook een voorbeeld hiervan?


Dit is een voorbeeld: http://en.wikipedia....ential_equation

De substituties die gebruikt worden zijn vaak vrij vergezocht. Er zijn geen algemene regels voor. Met wat ervaring kan je er vast wel inzicht in krijgen, maar ik ben er niet vaak genoeg mee bezig.

In sommige gevallen kan je het probleem ook vereenvoudigen door de Laplace getransformeerde te nemen, die op te lossen en dan terug te transformeren.

Er zijn verschillende trucs en ik ken ze lang niet allemaal, maar er is niet 1 standaardmethode ](*,) Sommige van die vergelijkingen hebben ook geen analytische oplossing en zullen daarom numeriek benaderd worden.

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 juli 2010 - 22:21

Gezien we in de afgeleiden en de integralen zitten, vond ik het heel aannemelijk dat het er uit zou zien als:
LaTeX

Waarom zo moeilijk doen? Kettingregel:
LaTeX
ofwel:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

#6

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 juli 2010 - 23:17

Kun je deze stappen iets uitgebreider uitleggen? (Ook evt. wat meer over de achtergrond van deze oplossing, gezien ik niet zie hoe je op de kettingregel komt).
De manier van oplossen beklijft bij mij nog niet helemaal.


Ik snap nog niet helemaal wat jij doet in deze stap en waarom dit een gelijkheid is:
LaTeX

Het doet me ergens denken aan:
LaTeX ?
Maar ik krijg het niet helemaal helder op een rijtje (mede omdat ik de notatie een beetje verwarrend vindt, omdat LaTeX al dan niet met de kwadraat een andere functie hebben (in het ene geval de functie van de afleiding en in het andere geval het feit dat het nog afgeleid moet worden).

Ik vermoed dat wanneer ik deze stap snap, dat ik de vervolgstappen ook snap.


De rest kan ik op zich aardig volgen.
Overigens ziet deze oplossing eruit alsof je deze in meer situaties kunt toepassen. Dus ook wat makkelijker voor niet-constante g-'s? Of heb ik dit nu fout?

#7

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 juli 2010 - 23:54

Ik snap nog niet helemaal wat jij doet in deze stap en waarom dit een gelijkheid is:
LaTeX


Het zal waarschijnlijk aan het late uur liggen, want normaal gezien zou je volgende standaard regel toch wel moeten (her)kennen.
LaTeX

Niet? ](*,)

mede omdat ik de notatie een beetje verwarrend vindt

Wat is er verwarrend? De plaats van het kwadraat (na de 'd' of na de functie) geeft meteen de betekenis.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2010 - 00:01

Ik gooi het ook maar op het late -of liever gezegd- vroege uur en kijk er morgen nogmaals naar.

Bedankt in elk geval in zoverre ](*,).

#9

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2010 - 10:02

Het zal waarschijnlijk aan het late uur liggen, want normaal gezien zou je volgende standaard regel toch wel moeten (her)kennen.
LaTeX



Niet? ](*,)

Tja, ik herken hem inderdaad. Hij is volledig analoog aan:
LaTeX .

En hieruit volgt dus met de kettingregel:
LaTeX
LaTeX
LaTeX .
Dat klopt in zoverre?

#10

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2010 - 10:35

Buiten dat je eerste regel niet klopt (er bestaat geen algemene formule voor LaTeX ), en dat de overgang naar de tweede regel ook fout is:
Wat ben je nu eigenlijk allemaal nog aan het uitrekenen?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#11

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2010 - 11:47

Buiten dat je eerste regel niet klopt (er bestaat geen algemene formule voor Bericht bekijken

Wat ben je nu eigenlijk allemaal nog aan het uitrekenen?

Ik doe een poging om te snappen waarom en hoe het gedaan is. Zodat ik het een volgende keer ook toe kan passen.

#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2010 - 12:35

Dit geldt:
LaTeX
De enige uitzondering is als de afgeleide van f(x) een constante is.

Veranderd door EvilBro, 28 juli 2010 - 12:36


#13

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 juli 2010 - 12:35

Hoe bedoel je dat er geen algemene formule bestaat voor LaTeX

?

Je hebt toch deze regel:
LaTeX .


Neen. Deze formule zou betekenen dat je de integraal van elke afleidbare functie kunt uitrekenen (n=1), was dat maar waar. (denk aan LaTeX )
Je vergeet f(x)' binnen de integraal te zetten (bovendien differentieer je die factor ook niet in de volgende bewerking). Je krijgt volgende (nutteloze) formule:
LaTeX

Ik doe een poging om te snappen waarom en hoe het gedaan is. Zodat ik het een volgende keer ook toe kan passen.

Maar wat precies?
Er wordt enkel gebruik gemaakt van: LaTeX en dus met de kettingregel:LaTeX
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#14

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2010 - 13:28

Er wordt enkel gebruik gemaakt van: LaTeX

en dus met de kettingregel:LaTeX

Ok, nu vat ik hem ;)
Bedankt ](*,)

#15

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 juli 2010 - 20:20

Goedendag allen,

Gezien ik vandaag weer een soortgelijk probleem zag, dacht ik: laat ik eens proberen om die zelf op te lossen. Alleen liep ik uiteindelijk vast. Dus hier mijn poging:

Het is naar aanleiding van het topic: [wiskunde] Integreren dx/(a/(b+x)). De TS moest daar t'(s) hebben, maar ik ga proberen hier s'(t) uit te halen.


LaTeX
LaTeX

Zelfde geintje wat ik eerst niet snapte:
LaTeX

Substitutie:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Ik kan hier nu nog wel een wortelteken overheen zetten. Maar zie niet in wat ik daarmee verder kom. Op de ťťn of andere manier lukt het mij niet om die 8s(t) van de ene kant zodanig naar de andere kant te werken dat en er dan uiteindelijk s(t) van te maken.
Kunnen jullie me een hint geven? Desnoods een analoog voorbeeld? Doe ik het overigens wel goed?

Volgens Wolfram Alpha moet er iets uitkomen als LaTeX

Veranderd door JWvdVeer, 28 juli 2010 - 20:28






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures