Namelijk veralgemeniseerd:
\(f(x)f'(x) = g(x)\)
Op zich was het probleem in het gestelde topic nog wel goed op te lossen, zonder dat ik dit eerder had gezien.\(a(t) = \frac{2}{v(t)} = \frac{2}{A(t)} \longrightarrow a(t) \cdot A(t) = 2\)
Gezien we in de afgeleiden en de integralen zitten, vond ik het heel aannemelijk dat het er uit zou zien als:\(y \cdot \frac{2}{y} = 2\)
De functiegroep die hier wel passend zou zijn, leken mij de wortelfuncties:\(y = \sqrt{x} \longrightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \longrightarrow y \cdot y' = \frac{1}{2} = c\)
Voor onze situatie gold dus:\(y = \sqrt{4x} \longrightarrow y' = \frac{1}{2\sqrt{4x}} = \frac{2}{\sqrt{4x}} \longrightarrow y \cdot y' = 2\)
De oplossing was dus:\(a(t) = \frac{4}{2\sqrt{4t + C}} = \frac{2}{\sqrt{4t + C}} \wedge A(t) = \sqrt{4t + C}\)
De rest van de opdracht was het kloppend maken met de voorwaarden:\(a(2) = \frac{2}{3} = \frac{2}{\sqrt{8 + C}} \longrightarrow 8 + C = 3^2 = 9 \longrightarrow C = 1\)
In het algemeen is dus de oplossing voor: \(f(x)f'(x) = c \longrightarrow f(x) = \sqrt{2cx + C} \wedge f'(x) = \frac{c}{\sqrt{2cx + C}}\)
Wat ik me naar aanleiding van dit topic afvroeg was: Stel dat g(x) nu geen constante is, maar een gewone functie. Dus bijv. \(\ln x\)
, \(\sqrt{x}\)
of \(e^x\)
. Is er dan een bepaalde oplosmethode? Kun je dat dan überhaupt oplossen? En is er maar één mogelijke oplossing? Of zijn er meerdere, waar ik dan per ongeluk niet aan gedacht heb?Als er wat literatuur over dit soort problematiek is, dan is deze uiteraard ook welkom.
