Taylor

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 846

Taylor

Hey,

ik zit nu al héél de dag te zoeken achter iets waar ik niet aan uitgeraak..

de vraag is nochtans simpel:

Gebruik een taylor ontwikkeling rond x = 0 om het getal e te benaderen met een nauwkeurigheid van 0,0001.

de reeks is niet moeilijk te vinden..
\(e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + ... \)
\(Rn(x) = \frac{f^{(n+1)}( c )}{(n+1)!}x^{n+1}\)
maar nu..

ik weet ondertussen (en corrigeer mij als ik hier al mis ben) dat c een punt is van de functie tussen interval [a, b] waar de helling van de functie identiek is als de helling van de verbindingslijn tussen a en b.

maar er staat hier in de oplossing.. kies a = 0 en b = 1, dan is
\(Rn(1) = \frac{e^c}{(n+1)!} < \frac{e}{(n+1)!} < \frac{3}{(n+1)!}\)
Om zeker te zijn dat de fout minder is dan 0,0001 moeten we een n zoeken zodanig dat
\(\frac{3}{(n+1)!} < 0,0001\)
waar is hier die x ergens naartoe gelopen??

kan er mij iemand uitleggen waarom je voor a = 0 en b = 1 kiest?

en van waar komt die 3 ? is dit omdat e = 2,77.. en je gewoon een waarde moet kiezen die groter is dan dit getal?

alvast bedankt!

Rayk
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Berichten: 7.068

Re: Taylor

ik weet ondertussen (en corrigeer mij als ik hier al mis ben) dat c een punt is van de functie tussen interval [a, b] waar de helling van de functie identiek is als de helling van de verbindingslijn tussen a en b.
Dat is onjuist. De 'c' is het punt waar omheen je de reeks samenstelt. In jouw geval geldt dus c=0. Er is natuurlijk wel een punt waarbij geldt wat je hierboven zegt (want de middelwaardestelling). Ik zie niet direct hoe de middelwaardestelling je hier gaat helpen.

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: Taylor

mh, kan het zijn dat je hier iets verward?
\(f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + ... + \frac{1}{n!}f^{n}(a)(x-a)^n + Rn(x)\)
volgens mij draait de reeks om het punt a als je hier de reeksontwikkeling van Taylor bekijkt en is die c in de restwaarde Rn(x) toch nog iets anders dan die a? In m'n cursus staat zelf dat er geen exacte formule bestaat om die c te berekenen..
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.087

Re: Taylor

Die c is inderdaad niet de waarde waar omheen je de reeks ontwikkelt, maar een onbekend getal. Ik zou ook niet weten hoe je a en b zou moeten kiezen. Staat dat niet in je cursus vermeld?

Die 3 is zoals je zelf al zegt gewoon een "vergemakkelijking" van het getal e.

Berichten: 4.246

Re: Taylor

waar is hier die x ergens naartoe gelopen??
x=1 in dit geval.
kan er mij iemand uitleggen waarom je voor a = 0 en b = 1 kiest?
Je kijkt in een omgeving van waar je taylort.
en van waar komt die 3 ? is dit omdat e = 2,77.. en je gewoon een waarde moet kiezen die groter is dan dit getal?
Ja, je kan het op deze manier afschatten.
Dat is onjuist. De 'c' is het punt waar omheen je de reeks samenstelt. In jouw geval geldt dus c=0.
Nee, c is niet nul hier.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.087

Re: Taylor

Je kijkt in een omgeving van waar je taylort.
Dat zegt mijn gevoel ook wel al, maar is er een objectieve manier om deze te bepalen? Nu wordt bijvoorbeeld a=0 gekozen, ik zou zelf al "voor de zekerheid" a=-1 gekozen hebben, en zodoende op hetzelfde antwoord zijn gekomen. Maar misschien is in de werkelijkheid c wel 2, en dan heb je met b=1 dus geen juiste keuze gemaakt.

Berichten: 7.068

Re: Taylor

mh, kan het zijn dat je hier iets verward?
Dat sluit ik nooit uit...
\(f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2 + ... + \frac{1}{n!}f^{n}(a)(x-a)^n + Rn(x)\)
Ah, dat bedoel je. Ik vond het lijken op dat je de algemene beschrijving van een term weergaf.

Berichten: 4.246

Re: Taylor

Dat zegt mijn gevoel ook wel al, maar is er een objectieve manier om deze te bepalen?
Des te dichter je in de buurt zit des te beter je foutafschatting.
Maar misschien is in de werkelijkheid c wel 2, en dan heb je met b=1 dus geen juiste keuze gemaakt.
Die c zit altijd in [a,b] onafhankelijk van de keuze a en b volgens de stelling van Taylor.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 846

Re: Taylor

owkay bedankt é! Hier kan ik wat mee verder
Steun de wetenschap en het forum en versterk ons boinc team! - voor meer info kijk op de hoofdpagina onder 'distributed computing'



"The beginning of knowledge is the discovery of something we do not understand" - Frank Herbert (1920-1986)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Taylor

Opmerking: je benadering van 2,77 voor de waarde van e is te hoog. Er geldt: e ≈ 2,71828, dus 2,72 zou een betere benadering zijn voor e.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Taylor

Je kiest best [0,1] omdat je de (standaard)reeks rond 0 wil gebruiken, maar je moet 1 kunnen "invullen" voor je benadering van e (= e1). Die c is dan een onbekend getal in dit interval dat, wanneer je het invult in die restterm, precies de 'fout' die je maakt met de (eindige) reeks compenseert. De stelling van Taylor geeft je dus niet de exacte fout, maar je kan vaak wel door afschatting een bovengrens voor de fout vinden (in dit geval door c = b = 1 te nemen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer