Springen naar inhoud

Notatie integralen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dendenden92

    dendenden92


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 juli 2010 - 22:52

Laats stootte ik op volgende formule:
Geplaatste afbeelding

Dit is allemaal heel logisch maar uiteindelijk komt het erop neer dat je dit ook als volgt kan omschrijven:

Geplaatste afbeelding

Nu snap ik niet goed waarom er nu plots "dg" (linkerlid) of ""df" (rechterlid) staat ipv dx, zoals het meestal voorkomt. Eigelijk weet ik niet goed wat het nut is van die "dx", kan iemand mij soms in woorden uitleggen wat dit betekend?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 juli 2010 - 00:21

dx betekent delta-x ofwel, de delta van variabele/functie x. Door met de d te werken geef je aan dat de functie over een bepaalde variabele/functie gedifferentieerd is, meestal x zoals je terecht aangeeft.

Echter voor x kun je ook een andere variabele of functie. Hier berust bijv. o.a. de regel voor integratie d.m.v. substitutie op: Wikipedia.
Stel je hebt de integraal:
LaTeX
LaTeX
LaTeX


En inderdaad kun je schrijven:
LaTeX
Dat is namelijk de regel van de partiŽle integratie: wikipedia.


Je bent overigens wel bekend met deze schrijfwijzen:
LaTeX (vergelijk met: LaTeX ).


Als we gewoon ingaan op wat dx nu eigenlijk betekent. Kunnen we daarin op zich vrij kort zijn en waarom het noodzaakelijk is deze te noteren kunnen we vrij kort zijn met een voorbeeld.
Stel, iemand heeft elke 1/10e seconde gemeten wat de versnelling was van de auto waar hij in zat. Je weet dat de beginsnelheid van de auto 5 m/s is. Nu kun je daarmee een inschatting maken van de snelheid op tijdstip t.

Immers, die iemand heeft een lijstje van versnellingen berekend (wij noemen deze nu even a):
LaTeX
LaTeX .
LaTeX .

Stel dus dat diegene een lijst van versnellingen heeft uitgevonden {1, 2, 3, 4, 2, 0 -2, -4, -6} (index begint bij 1). Dan geldt dus voor de snelheid op t=1s, dat deze ongeveer gelijk is aan (laat eenheden voor wat ze zijn):
LaTeX .

Stel dat we nu die LaTeX zo klein maken en hem reduceren tot 0 (dus om binnen het voorbeeld te blijven: continue meten, waarbij op tijdspan [0s, 1s] niet-aftelbaar oneindig veel waarden worden gevonden die te beschrijven zijn met een functie a). Dan krijg je:
LaTeX (wordt dus in feite dt).
LaTeX
Ofwel, bij limitering krijg je simpel gesteld de volgende veranderingen: LaTeX .
dt is dus eigenlijk gewoon echt een factor waarmee je vermenigvuldigt!
In dit geval is dt een variabele. Maar t zou even goed een functie kunnen zijn die weer van iets anders afhangt.


Die omschrijving en van de formules is op de engelse wiki overigens beter te volgen: Engelse wikipedia, integration by parts.

LaTeX
Integratie beide zijden:
LaTeX
Rearrangeren van termen:
LaTeX

Veranderd door JWvdVeer, 30 juli 2010 - 00:28


#3


  • Gast

Geplaatst op 30 juli 2010 - 14:35

Een wat korter, zij het misschien theoretisch minder juist antwoord zou zijn, dat als je de integraal berekent over
f(x)g'(x)dx, je in feite mag substitueren g'(x)=d(g(x))/dx=dg/dx.
Als je dat doet (maar kijk goed uit of er niet ergens een wiskundige zit te gluren) dan zie je dat de integrand de volgende vorm aanneemt:
f(x)dg(x)/dx.dx=f(x)dg(x), of met de tweede substitutiemogelijkheid f(x)dg/dx.dx=f(x)dg.
(dx/dx=1). Als je aanneemt dat x de enige variabele is waarvan g en f afhankelijk zijn, dan maakt het niet uit of je f(x) of f, resp. g(x) of g schrijft. In de kortste notatie wordt de integrand nu fdg.

Veranderd door bessie, 30 juli 2010 - 14:40


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 10:19

dx betekent delta-x ofwel, de delta van variabele/functie x. Door met de d te werken geef je aan dat de functie over een bepaalde variabele/functie gedifferentieerd is, meestal x zoals je terecht aangeeft.

De 'd' in dx (of d...) is zeker geen delta! De (hoofdletter) delta wordt gebruikt voor eindige verschillen, zoals Δx = x2-x1 of Δt = t2-t1. De kleine letter delta is nog iets anders, niet direct relevant in deze context.

De 'dx' in een integraal zie je best als louter notatie waaraan je (inderdaad) kan zien naar welke variabele je integreert. De notatie met df moet je dan interpreteren zoals een differentiaal, er geldt: df = df/dx dx, dus als f een functie van x is: d(f(x)) = f'(x) dx.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures