Springen naar inhoud

Functie x^x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 augustus 2010 - 23:21

De functie LaTeX staat overal geboekt als een reele functie LaTeX , en discontinu voor LaTeX (reele en Imaginaire plot)
Toch vind ik op het internet dat de LaTeX
Als ik de functie plot zie wel dat de reele en imaginaire plots links naar 0 gaan, maar kan men hier wel spreken van een limiet aangezien de functie niet continu is?

Ik had verwante vragen voor LaTeX en voor LaTeX , maar dat zullen wel gelijkaardige problemen zijn?
---WAF!---

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 07:55

Ik vraag me af of de definitie van limiet wel een continue functie veronderstelt:
Wikipedia: als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε

Op de Engelse wikipedia wordt er nog even wat meer aandacht aan gegeven: http://en.wikipedia....nition_of_limit.

En inderdaad zijn de andere genoemde dingen naar mijn idee soortgelijke problemen. Het gaat allemaal om negatieve machten, die enkel bestaan voor negatieve integers.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 08:15

Ik vraag me af of de definitie van limiet wel een continue functie veronderstelt:
Wikipedia: als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε

Het is zelfs andersom: het continu zijn van een functie impliceert dat er daar (bij x=a) een limiet zit.

De situatie is hier echter anders, het is geen limiet van de vorm LaTeX maar LaTeX , dus daar is geen sprake van continuÔteit (of liever gezegd er is geen sprake van "daar").
En dat hoeft ook niet, de definitie voor dit type limiet (d.w.z. LaTeX ) is dat er voor elke ε > 0 een A bestaat, zodanig dat voor alle x met x<A geldt dat |f(x)-L| < ε.
En dat is hier het geval (mits je de |...| als complexe norm ||...|| opvat), dus de limiet klopt.

Merk overigens op dat LaTeX niet standaard definieerd is (je kunt hier voor f(x) natuurlijk wel definiŽren dat bijvoorbeeld f(x)=0).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 08:45

De definitie van limiet veronderstelt idd geen continuiteit. Continuiteit is trouwens gedefinieerd aan de hand van limieten...
Maar mijn vraag was in feite, aangezien de functie x^x voor x<0 constant "switcht van reeel naar imaginair" (wiskundig gezien is dit misschien niet erg formeel, maar zo had ik het begrepen), hoe kan men dan de limiet voor x naar LaTeX bewijzen?
Is mijn omschrijving van het onregelmatige verloop van die functie eigenlijk wel juist?

@JWvdVeer
Het gaat niet enkel om integers. voorbeeldje: LaTeX (dus een negatief irrationaal getal tot een negatieve irrationale macht) blijkt een complex getal te zijn; namelijk LaTeX ...
(ik weet dat een irrationaal getal tot een irrationale macht soms een rationaal getal kan geven, maar voor x<0 vind ik daar niet direct een voorbveeld van, ik bekom steeds complexe getallen, daar waar er volgens verschillende bronnen ook duidelijk een reele plot is , samen met een imaginaire)

@Rogier
Oh, ik merk nu net dat ik jouw post nog niet had gelezen, hier zit dus wat overlap in...

Veranderd door Westy, 05 augustus 2010 - 08:51

---WAF!---

#5

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 09:13

En dat hoeft ook niet, de definitie voor dit type limiet (d.w.z. LaTeX

niet standaard definieerd is (je kunt hier voor f(x) natuurlijk wel definiŽren dat bijvoorbeeld f(x)=0).

Inderdaad, f(0) , of 0^0 is in feite een 'afspraak'... Maar het ging me voornamelijk om x<0, dus bekommerde ik me hier niet echt om
---WAF!---

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 09:39

(ik weet dat een irrationaal getal tot een irrationale macht soms een rationaal getal kan geven, maar voor x<0 vind ik daar niet direct een voorbveeld van, ik bekom steeds complexe getallen, daar waar er volgens verschillende bronnen ook duidelijk een reele plot is , samen met een imaginaire)

Ik weet niet waar je die plot mee maakt of hoe nauwkeurig dat is, maar volgens mij treden die reŽle uitkomsten bij negatieve x alleen op als LaTeX ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 09:53

Ik had x^x ingetikt in Wolfram Alpha , en ook in het programma Derive. Beiden geven 2 curves (1 reele en i imaginaire) voor x<0, maar ik begrijp nu plots dat de bedoeling hiervan is dat de reele curve het reele gedeelte van het complex getal weergeeft en de imaginaire curve het imaginaire gedeelte... (wat klopt met de limiet).
Ik was dus wat in de war met die 2 curves -zoals blijkt uit mijn vorige posts- maar daar zit dus nu al wat beterschap in ](*,)
Nog 1 vraagje rest me; ivm het apsilon-A bewijs van de limiet (zie vorige post) , en de keuze van A hier.
Toch al bedankt!

Veranderd door Westy, 05 augustus 2010 - 09:54

---WAF!---

#8

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 10:02

Ik weet niet waar je die plot mee maakt of hoe nauwkeurig dat is, maar volgens mij treden die reŽle uitkomsten bij negatieve x alleen op als LaTeX

?

Sterker nog, enkel op LaTeX

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 10:08

Sterker nog, enkel op LaTeX

Hoezo? Wat is het probleem bij bv. x = -3? Dan is (-3)^(-3) = 1/(-3)≥ = -1/27. Of: (-1)^(-1) = -1.

Over die limiet: het is natuurlijk maar de vraag hoe je die limiet precies definieert. Vele definities die je vindt, zullen eisen dat een omgeving van -oneindig binnen het domein van de functie ligt en dat is hier niet het geval.
Je hoeft dat niet te doen, je kan ook de doorsnede nemen van het domein met een omgeving van -oneindig en alleen die x-waarden beschouwen. In dat geval zit je hier enkel met gehele negatieve getallen en daarvan is de limiet duidelijk 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 10:13

Hoe zou jij in dit bewijs dan tewerkgaan, ik bedoel: voor elke epsilon moet je dus een A kunnen vinden: ok. Maar welke A (ik veronderstel dat A in functie van epsilon zal uitgedrukt worden, mag die A ook in functie van x zijn?) kies je dan hier, zodat aan de voorwaarde voldaan is?

Nee A kan nooit een functie van x zijn, A moet juist een grens zijn voor x. Met andere woorden A bepaalt x, in plaats van omgekeerd.

Aangezien geldt LaTeX (voor reŽle x), en LaTeX als x<-1, kun je met A=-1/ε volstaan (als ε<1, en anders domweg A=-1).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 10:44

Het volgende helpt misschien om een beetje een gevoel te krijgen bij de limiet (LET OP! Het is geen bewijs!). Stel a is een reeel getal (in een complex vlak, ofwel op de 'x-as') dan:
LaTeX
Als a negatief is dan is het argument van a gelijk aan pi, dus:
LaTeX
substitueer met c=-a:
LaTeX
Bekijk nu:
LaTeX
Voor c gaat naar oneindig (= a gaat naar -oneindig) gaat dit naar 0. Zoals al eerder gezegd: dit is geen bewijs maar slechts een presentatie om het minder vreemd te laten lijken (hoop ik).

#12

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 11:00

@ TD en Rogier:
hartelijk dank, het is soms een beetje een puzzel, maar alle stukjes daarvan beginnen nu mooi op hun plaats te vallen...

@EvilBro:
Dit helpt inderdaad ook! (al was het maar om de wisselingen complex-niet complex beter te begrijpen)
Toch nog 1 vraagje, waarschijnliojk evident, maar ik wou toch zeker zijn:
Is in jouw vorige post LaTeX
omdat LaTeX ?

Veranderd door Westy, 05 augustus 2010 - 11:02

---WAF!---

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 11:07

e^(i*reŽel) ligt op de complexe eenheidscirkel en heeft dus norm 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 11:22

Maar natuurlijk, ik had het gevoel dat wat ik schreef niet helemaal goed zat, vandaar mijn vraag voor bevestiging...
Ik ga alles nog 's rustig op een rij zetten, en proberen 'toe te passen' op LaTeX en LaTeX . Dat zou moeten lukken denk ik. Zoniet dan horen jullie nog wel van mij...
---WAF!---

#15

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2010 - 14:49

Hoezo? Wat is het probleem bij bv. x = -3? Dan is (-3)^(-3) = 1/(-3)≥ = -1/27. Of: (-1)^(-1) = -1.

Sorry, even niet helemaal goed gekeken:
http://www.wolframal.....1,0.0000001}].





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures