In mijn cursus behandelen we een functie z = (x,y) waarbij x en y op hun beurt van twee nieuwe veranderlijken u en v afhangen als x = x(u,v) y=y(u,v).
Dan verwacht ik een functie in de vorm van z = u + v + u - v (waarbij x = u+v en y = u - v en z = x+y). De totale differentiaal wordt dan:
\(dz = (\frac{\partial z}{\partial u})du + (\frac{\partial z}{\partial v})dv \)
. Mijn redenering hiervoor is dat we partieel gaan afleiden naar elke veranderlijke in de functie, en aangezien we x en y letterlijk hebben omgeschreven naar hun afhankelijkheden, blijven er enkel nog u en v veranderlijken over. Is dit correct?
De partiele afgeleiden afzonderlijk zijn dan:
\(\frac{\partial z}{\partial u} = (\frac{\partial z}{\partial x})(\frac{\partial x}{\partial u}) + (\frac{\partial z}{\partial y})(\frac{\partial y}{\partial u})\)
en \(\frac{\partial z}{\partial v} = (\frac{\partial z}{\partial x})(\frac{\partial x}{\partial v}) + (\frac{\partial z}{\partial y})(\frac{\partial y}{\partial v})\)
logisch, want als we de functie partieel naar u willen afleiden, gaan we voor zowel het x als y-deel moeten partieel afleiden naar u.Maar dan zegt de cursus dat
\(\frac{\partial z}{\partial x} = (\frac{\partial z}{\partial u})(\frac{\partial u}{\partial x}) + (\frac{\partial z}{\partial v})(\frac{\partial v}{\partial x})\)
.Als x in functie staat van u en v. Hoe kan het dan zo zijn dat we partieel kunnen afleiden naar x door eerst langs u te gaan? Met andere woorden, hoe kunnen we uit u en v partieel afleiden naar x? Ik dacht dat enkel de omgekeerde richting mogelijk was, van x naar u en v afleiden?
