Springen naar inhoud

Schrodinger vergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Celtic

    Celtic


  • >100 berichten
  • 161 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2010 - 21:37

Uit interesse, in de Schrodinger vergelijking wordt
momentum P omgezet naar een vorm die
gelijk is aan

h/i x d/dx (x) waarvan het kwadraat
gedeeld door 2m dan de H operator is.

Hoe wordt P omgezet naar deze vorm?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2010 - 22:16

Eerst iets anders aantonen:

LaTeX
Met behulp van de Schrodinger vergelijking:
LaTeX
LaTeX
LaTeX

En nu hetgeen we willen bewijzen:
LaTeX
LaTeX
partiële integratie:
LaTeX
Laatste term is 0
Nog eens partiële integratie:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dus:
LaTeX
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#3

erhoy

    erhoy


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 10:57

Ik begrijp de redenering niet van de heer ZVdP.
In de eerste formulelijn van de Schrödingervergelijking, die hij geeft, is toch al de omzetting van P
(P kwardraat gedeeld door 2M) gemaakt vanuit de energievergelijking (E= Kinetiscge energie + Potentiële enegie).
Dus je bewijst iets dat je al gebruikt. ????

#4

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 11:59

Om de Schrödinger vergelijking op te stellen, heb je geen impulsoperator nodig.
Een mogelijke redenering gaat als volgt:
We stellen dat een deeltje beschreven wordt door een golf.
LaTeX
Dit kunnen we herschrijven door gebruik te maken van LaTeX en LaTeX naar:
LaTeX
Vervolgens gebruiken we de (niet relativistische) formule die energie linkt met impuls:
LaTeX

We gaan nu deze dispersierelatie opleggen aan onze golffunctie:
Eerst E voortbrengen
LaTeX
of:
LaTeX
Nu p2/2m voortbrengen:
LaTeX
of:
LaTeX

De dispersierelatie opleggen levert nu:
LaTeX

Voila, de Schrödinger vergelijking (zonder de potentiaal term) afgeleid, zonder gebruik te maken van de impulsoperator.
Achteraf kunnen we dan de impulsoperator berekenen zoals in mijn vorige post vanuit deze vorm van de Schrödinger vergelijking. Deze operator kunnen we dan invoeren in de ¨Schrödinger vergelijking om de notatie een beetje te vereenvoudigen.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#5

erhoy

    erhoy


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 14:40

Dank je ZVdP.

Ik heb me niet goed gerealiseerd, dat de Schrödingervergelijking volgt uit de golffunctie en
energie-impulsvergelijking.

Wel raar dat de gemiddelde waarde van x altijd nul is voor een zuivere golf, terwijl er toch een impuls is.

#6

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 14:52

Hoezo is de gemiddelde waarde 0?
(Merk ook op dat een enkele sinusoïdale golf voor een vrij deeltje wel een oplossing is van de Schrödinger vergelijking, maar geen fysische oplossing is, daarvoor heb je een lineaire combinatie nodig in een golfpakket)
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#7

erhoy

    erhoy


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 13:06

Hoezo is de gemiddelde waarde 0?
(Merk ook op dat een enkele sinusoïdale golf voor een vrij deeltje wel een oplossing is van de Schrödinger vergelijking, maar geen fysische oplossing is, daarvoor heb je een lineaire combinatie nodig in een golfpakket)


Ik bedoel dat voor een zuivere sinusoïdale golf de gemiddelde waarde van x
LaTeX
0 is. Of is dat niet zo?

#8

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 13:15

Die integraal bestaat niet en stelt bovendien fysisch niets voor; er bestaat geen enkel deeltje met die golffunctie.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#9

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 16:27

Die integraal bestaat niet en stelt bovendien fysisch niets voor; er bestaat geen enkel deeltje met die golffunctie.


Hoe bedoel je? Die integraal stelt de gemiddelde positie voor. Natuurlijk zal die integraal bestaan voor alle functies die een eindig antwoord geven; of dat alle golffuncties op L2 zijn zou ik moeten nakijken.

Kun je je uitspraak toelichten?

Om de Schrödinger vergelijking op te stellen, heb je geen impulsoperator nodig.
....

Nu p2/2m voortbrengen:
Bericht bekijken

Dank je ZVdP.

Ik heb me niet goed gerealiseerd, dat de Schrödingervergelijking volgt uit de golffunctie en
energie-impulsvergelijking.

Wel raar dat de gemiddelde waarde van x altijd nul is voor een zuivere golf, terwijl er toch een impuls is.


De Schrodingervergelijking kun je zien als je klassieke uitdrukking voor energie en impuls, waarbij je de klassieke uitdrukkingen E en p omschrijft naar operatoren die op je golffunctie inwerken.

De vorm van de impulsoperator kun je afleiden door te eisen dat deze operator translaties in de ruimte genereert, net zoals de Hamiltoniaan translaties in de tijd genereert. Een erg fijne en compacte afleiding hiervan kun je bijvoorbeeld in Nakahara's "geometry, topology and physics" vinden, hoofdstuk 1.1 tot 1.2.

#10

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2010 - 17:15

Hoe bedoel je? Die integraal stelt de gemiddelde positie voor. Natuurlijk zal die integraal bestaan voor alle functies die een eindig antwoord geven; of dat alle golffuncties op L2 zijn zou ik moeten nakijken.

Kun je je uitspraak toelichten?


Ik bedoelde enkel dat die integraal niet bestaat voor LaTeX

Waar haal je de specifieke vorm van LaTeX

vandaan, dan? Dan gebruik je de operatorvorm van p toch al?

Hier volg ik niet goed. Ik gebruik toch nergens de impulsoperator LaTeX ?
Ik stel de Schrödinger vergelijking op via LaTeX (als gegeven uit de klassieke mechanica)
en bereken hieruit de impulsoperator LaTeX

Die afleiding via translaties staat ook op de wikipedia pagina van de impuls operator.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#11

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 11:12

Ik bedoelde enkel dat die integraal niet bestaat voor LaTeX




Hier volg ik niet goed. Ik gebruik toch nergens de impulsoperator LaTeX ?
Ik stel de Schrödinger vergelijking op via LaTeX (als gegeven uit de klassieke mechanica)
en bereken hieruit de impulsoperator LaTeX


Je stelt

LaTeX

Hiervoor gebruik je de specifieke vorm van de golffunctie. Daarin staat een p*x term staat die je dimensioneel al kunt beargumenteren en met de eis dat je operatoren lineair zijn kun je zo de deze vorm van de impuls operator afleiden. Je leidt zo de vorm van de operator af door te eisen dat de operator als eigenfunctie die golffunctie heeft, en dat de eigenwaarde gegeven wordt door p. Daar komen natuurlijk nog wel wat aannames bij ;)

Het is een aardige afleiding, maar axiomatisch zou je het niet op deze manier doen, vermoed ik.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures