Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

hir

Kan iemand me uitleggen hoe deze stap (in het bewijs v/h binomium v Newton) gemaakt wordt ? :

\( \sum_(k=0)^m \)

\(\left( \begin{array}{c} m \\ k \end{array} \right) \)

a^m-k b^k+1 =

\( \sum_m^(k-1) \)

\(\left( \begin{array}{c} m \\ (k-1)\end{array} \right)a [sup]m+1-k[/sup]\)

b^k

TD

Blijkbaar loopt een en ander mis met het in LaTeX gieten; kan je het op een andere manier doorgeven/noteren?

hir

Volgende poging :

\(\sum_{k=0}^{m} \left( \begin{array}{c} m \\ k \end{array} \right) \)

a^m-k b^k+1 =

\(\sum_{k=1}^{m+1} \left( \begin{array}{c} m \\ (k-1)\end{array} \right)\)

a^m+1-kb^k

vencedor

Een verandering van variabele maakt het misschien duidelijker, definieer

\(h = k+1\)

of

\(k = h - 1\)

\(\sum_{k=0}^{k=m} \left( \begin{array}{c} m \\ k \end{array} \right) \)

a^m-k b^k+1 =

\(\sum_{h-1=0}^{h-1=m} \left( \begin{array}{c} m \\ h-1\end{array} \right)\)

a^m-(h-1)b^(h-1)+1 =

\(\sum_{h=1}^{h=m+1} \left( \begin{array}{c} m \\ h-1\end{array} \right)\)

a^m+1-hb^h

hir

Daarmee ben ik ongeveer mee, alleen begrijp ik niet waarom de exponent van a in het laatste lid nl. m+1-h mag worden omgezet in m+1-k want de variabele h is niet gelijk aan k, want h=k+1 en hetzelfde voor die exponent van b waarom die h zomaar mag worden omgezet in die k ?

kee

Ben je er intussen aan uit? h en k zijn 'tijdelijke' variabelen die ingevoerd zijn om de som met behulp van het somteken te kunnen opschrijven. Het maakt niet uit welke variabele je gebruikt. Dus in plaats van h mag je evengoed k gebruiken.

Let wel dat deze (nieuwe) k niks te maken heeft met de 'oude' k waar jij het over hebt wanneer je overgegaan bent van de variabele k naar de variabele h via h=k+1. De oude k is weg, en nu op het einde ga je eigenlijk over naar een 'nieuwe' k (via k=h), en de h valt weg. Dat is waarschijnlijk ook waarom je oorspronkelijk een probleem had: de nieuwe k moet je zien als een andere variabele als de oude k, alleen dezelfde naam gegeven (aangezien de oude k toch verdwijnt levert dat hier geen problemen op) omdat men nu eenmaal graag k gebruikt als variabele die ingevoerd wordt om een som met behulp van het grote somteken sigma te schrijven.

Als je nog meer bevestiging wilt: Als je die som uiteindelijk zou uitschrijven zonder het grote somteken sigma (hoewel dat hier wat moeilijk is zolang je geen bepaalde waarde geeft aan m), dan zie je dat die k (of h) inderdaad daar niet meer in staat, dus is dat inderdaad exact dezelfde som welke variabele je ook gebruikt. Die variabelen dienen dus enkel om de som met behulp van het somteken te schrijven.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

Re: Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

Re: Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

Re: Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

Re: Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton

Re: Stap in het inductiebewijs m.b.v. binomium van newton