Kan er mij iemand op weg zetten bij het oplossen van volgend stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden. (Ik heb niet gevonden hoe ik de "stelsel-accolade" voor mijn twee vergelijkingen krijg, excuses daarvoor)
Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 197
Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Hallo mede-WSFbezoekers,
Kan er mij iemand op weg zetten bij het oplossen van volgend stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden. (Ik heb niet gevonden hoe ik de "stelsel-accolade" voor mijn twee vergelijkingen krijg, excuses daarvoor)
Kan er mij iemand op weg zetten bij het oplossen van volgend stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden. (Ik heb niet gevonden hoe ik de "stelsel-accolade" voor mijn twee vergelijkingen krijg, excuses daarvoor)
\(\frac{2x}{x²+y²}=y\)
\(\frac{2y}{x²+y²}=x\)
Aan allen bedankt !- Berichten: 581
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Ik heb dit stelsel als volgt opgelost :
Als je uit de 2 vergelijkingen
Als je nu
Lukt dat verder?
Als je uit de 2 vergelijkingen
\( (x^2+y^2) \)
en die aan elkaar gelijk stelt, dan krijg je \( \frac{2x}{y}= \frac{2y}{x} \)
Dat mag natuurlijk alleen als \( (x^2+y^2) \)
verschillend is van 0, maw als x en y niet samen 0 kunnen zijn, wat niet kan aangezien je anders in je opgave de onbepaalde vorm \( \frac{0}{0}\)
krijgt.Als je nu
\( \frac{2x}{y}= \frac{2y}{x} \)
ofwel \( x^2=y^2 \)
verder uitwerkt dan krijg je 2 reele oplossingen voor x en y, en 2 complexe oplossingen.Lukt dat verder?
---WAF!---
- Berichten: 2.609
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Ter informatie:
Hier je stelsel in LaTex:
Hier je stelsel in LaTex:
\(\left \{ \begin{array}{lcr}\frac{2x}{x²+y²} & = & y \\ \frac{2y}{x²+y²} & = & x \end{array}\)
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Alternatief: y keer de eerste min x keer de tweede vergelijking; levert (natuurlijk) ook y² - x² = 0 dus y² = x² zoals bij Westy.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Er klopt iets niet aan de oplossingen maar ik kan er mijn vinger niet op leggen. Uit x^2=y^2 volgt x=y of x=-y. De complexe oplossingen zie ik niet. Immers het betreft hier een tweedegraads vergelijking, en die heeft maar twee nulpunten, of niet?
Maar als ik x=-y invul komt er te staan x=-x of zoiets. Volgens mij voldoet die oplossing dus ook niet. Dus vermoed ik dat er een complexe oplossing is die er niet bij staat.
Ik geef mijn afleiding:
De positieve oplossing is een cirkel met straal wortel(2). De negatieve oplossing begrijp ik niet. Wat doe ik fout?
Maar als ik x=-y invul komt er te staan x=-x of zoiets. Volgens mij voldoet die oplossing dus ook niet. Dus vermoed ik dat er een complexe oplossing is die er niet bij staat.
Ik geef mijn afleiding:
\(\frac{2x}{x^2+y^2}=y\)
substitueren in \(\frac{2y}{x^2+y^2}=x\)
levert\(\frac{4x}{(x^2+y^2)^2}=x\)
Omdat x<>0 geldt dus\(4=(x^2+y^2)^2\)
dus x^2+y^2=+/- 2De positieve oplossing is een cirkel met straal wortel(2). De negatieve oplossing begrijp ik niet. Wat doe ik fout?
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
We vonden dus alvast x = y of x = -y. Uit dat eerste volgt (y vervangen door x):
\(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}} \to x = \frac{{2x}}{{{x^2} + {x^2}}} \Leftrightarrow x = \frac{{2x}}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{x}\)
Ik schrap x omdat x toch niet 0 mag zijn (noemer). Hieruit volgen oplossingen... Probeer zelf y = -x."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
In feite niets. Er zitten alleen een paar irreële oplossingen bij. Die kun je afhankelijk van je vraagstuk gewoon negeren en dan enkel de reële getallen oplossen.De positieve oplossing is een cirkel met straal wortel(2). De negatieve oplossing begrijp ik niet. Wat doe ik fout?
Die complexe oplossingen volgen uit jouw eigen berekening .De complexe oplossingen zie ik niet. Immers het betreft hier een tweedegraads vergelijking, en die heeft maar twee nulpunten, of niet?
Het betreft hier een tweedegraadvergelijking, maar wel één met twee van elkaar afhankelijke variabelen. En dat maakt het verhaal heel wat anders.
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
y=-x levert geen reeele oplossing, hoogstens x=+/- i, maar die kloppen niet in de oorspronkelijke opgave.
Ik vraag me dan ook af of het vinden van die mogelijke oplossingen wiskundig wel juist is. Ik zet weer even mijn oplossing erbij:
Wederom komen er geen complexe oplossingen, maar die komen wel als men kijkt naar |x|>1 want dan wordt de wortelvorm negatief.
In elk geval levert verwisselen van x en y een kromme op die 90 graden gedraaid ligt. De snijpunten van beide krommen liggen bij (1,1) en (-1,-1), en er lijken er nog twee te zijn.
Ik vraag me dan ook af of het vinden van die mogelijke oplossingen wiskundig wel juist is. Ik zet weer even mijn oplossing erbij:
\(\frac{2y}{x^2+y^2}=x => (x^2+y^2)x=2y\)
\(x^3+y^2x-2y=0 => y^2-\frac{2y}{x}+x^2=0\)
\((y-\frac{1}{x})^2-(\frac{1}{x})^2+x^2=0\)
\(y=1/x +/- \sqrt((1/x)^2-x^2)\)
Dit is een kromme in het x-y-vlak die er volgens excel zo uitzietWederom komen er geen complexe oplossingen, maar die komen wel als men kijkt naar |x|>1 want dan wordt de wortelvorm negatief.
In elk geval levert verwisselen van x en y een kromme op die 90 graden gedraaid ligt. De snijpunten van beide krommen liggen bij (1,1) en (-1,-1), en er lijken er nog twee te zijn.
- Bijlagen
-
- naamloos.GIF (3.2 KiB) 308 keer bekeken
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Hoezo niet? Bijvoorbeeld:y=-x levert geen reeele oplossing, hoogstens x=+/- i, maar die kloppen niet in de oorspronkelijke opgave.
\(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}} \to - i = \frac{{2i}}{{{i^2} + {{\left( { - i} \right)}^2}}} \Leftrightarrow - i = \frac{{2i}}{{ - 2}} \Leftrightarrow - i = - i\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Oplossingen dus (i,-i), (-i,i), (1,1) en (-1,-1). Ik denk dat ik het begrijp, bedankt weer.
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Klopt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 581
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Aangezien ik nu pas terug inval is alles ondertussen blijkbaar reeds gezegd...
Maar dat was ondertussen al duidelijk...
Als ik het hier had over 'verder uitwerken' dan bedoelde ik natuurlijk 'het stelsel verder oplossen': dus de 2 oplossingen (x=y en x=-y) invullen in 1 van de originele vergelijkingen en dan bekom je inderdaad (1,1) en (-1,-1) , ( i,-i) en (-i,i) ; dus de 2 reele en de 2 complexe oplossingen voor x en voor y waarover ik het had.Als je nu\( \frac{2x}{y}= \frac{2y}{x} \)ofwel\( x^2=y^2 \)verder uitwerkt dan krijg je 2 reele oplossingen voor x en y, en 2 complexe oplossingen.
Maar dat was ondertussen al duidelijk...
---WAF!---
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Voor de vragensteller vermoed ik overigens dat het een stelsel in reële onbekenden x en y was; dus de complexe oplossingen zijn dan niet relevant. Misschien schrikt ons heel verhaal namelijk wat af, voor de eigenlijke vraag.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 197
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
bedankt voor de feedback! Ik heb inderdaad enkel reële oplossingen nodig.
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden
Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)