Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-08-'10, 21:25

motionpictures88

Berichten: 197

Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Hallo mede-WSFbezoekers,

Kan er mij iemand op weg zetten bij het oplossen van volgend stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden. (Ik heb niet gevonden hoe ik de "stelsel-accolade" voor mijn twee vergelijkingen krijg, excuses daarvoor)
\(\frac{2x}{x²+y²}=y\)
\(\frac{2y}{x²+y²}=x\)
Aan allen bedankt !
Omhoog

Bericht 07-08-'10, 23:27

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Ik heb dit stelsel als volgt opgelost :

Als je uit de 2 vergelijkingen
\( (x^2+y^2) \)
en die aan elkaar gelijk stelt, dan krijg je
\( \frac{2x}{y}= \frac{2y}{x} \)
Dat mag natuurlijk alleen als
\( (x^2+y^2) \)
verschillend is van 0, maw als x en y niet samen 0 kunnen zijn, wat niet kan aangezien je anders in je opgave de onbepaalde vorm
\( \frac{0}{0}\)
krijgt.

Als je nu
\( \frac{2x}{y}= \frac{2y}{x} \)
ofwel
\( x^2=y^2 \)
verder uitwerkt dan krijg je 2 reele oplossingen voor x en y, en 2 complexe oplossingen.

Lukt dat verder?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 08-08-'10, 00:05

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Ter informatie:

Hier je stelsel in LaTex:
\(\left \{ \begin{array}{lcr}\frac{2x}{x²+y²} & = & y \\ \frac{2y}{x²+y²} & = & x \end{array}\)
Omhoog

Bericht 08-08-'10, 14:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Alternatief: y keer de eerste min x keer de tweede vergelijking; levert (natuurlijk) ook y² - x² = 0 dus y² = x² zoals bij Westy.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 19:43

bessie

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Er klopt iets niet aan de oplossingen maar ik kan er mijn vinger niet op leggen. Uit x^2=y^2 volgt x=y of x=-y. De complexe oplossingen zie ik niet. Immers het betreft hier een tweedegraads vergelijking, en die heeft maar twee nulpunten, of niet?

Maar als ik x=-y invul komt er te staan x=-x of zoiets. Volgens mij voldoet die oplossing dus ook niet. Dus vermoed ik dat er een complexe oplossing is die er niet bij staat.

Ik geef mijn afleiding:
\(\frac{2x}{x^2+y^2}=y\)
substitueren in
\(\frac{2y}{x^2+y^2}=x\)
levert
\(\frac{4x}{(x^2+y^2)^2}=x\)
Omdat x<>0 geldt dus
\(4=(x^2+y^2)^2\)
dus x^2+y^2=+/- 2

De positieve oplossing is een cirkel met straal wortel(2). De negatieve oplossing begrijp ik niet. Wat doe ik fout?
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 19:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

We vonden dus alvast x = y of x = -y. Uit dat eerste volgt (y vervangen door x):
\(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}} \to x = \frac{{2x}}{{{x^2} + {x^2}}} \Leftrightarrow x = \frac{{2x}}{{2{x^2}}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{x}\)
Ik schrap x omdat x toch niet 0 mag zijn (noemer). Hieruit volgen oplossingen... Probeer zelf y = -x.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 21:20

JWvdVeer

Berichten: 1.116

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

De positieve oplossing is een cirkel met straal wortel(2). De negatieve oplossing begrijp ik niet. Wat doe ik fout?
In feite niets. Er zitten alleen een paar irreële oplossingen bij. Die kun je afhankelijk van je vraagstuk gewoon negeren en dan enkel de reële getallen oplossen.
De complexe oplossingen zie ik niet. Immers het betreft hier een tweedegraads vergelijking, en die heeft maar twee nulpunten, of niet?
Die complexe oplossingen volgen uit jouw eigen berekening ;) .

Het betreft hier een tweedegraadvergelijking, maar wel één met twee van elkaar afhankelijke variabelen. En dat maakt het verhaal heel wat anders.
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 21:26

bessie

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

y=-x levert geen reeele oplossing, hoogstens x=+/- i, maar die kloppen niet in de oorspronkelijke opgave.

Ik vraag me dan ook af of het vinden van die mogelijke oplossingen wiskundig wel juist is. Ik zet weer even mijn oplossing erbij:
\(\frac{2y}{x^2+y^2}=x => (x^2+y^2)x=2y\)
\(x^3+y^2x-2y=0 => y^2-\frac{2y}{x}+x^2=0\)
\((y-\frac{1}{x})^2-(\frac{1}{x})^2+x^2=0\)
\(y=1/x +/- \sqrt((1/x)^2-x^2)\)
Dit is een kromme in het x-y-vlak die er volgens excel zo uitziet
naamloos.GIF
naamloos.GIF (2.9 KiB) 303 keer bekeken
Wederom komen er geen complexe oplossingen, maar die komen wel als men kijkt naar |x|>1 want dan wordt de wortelvorm negatief.

In elk geval levert verwisselen van x en y een kromme op die 90 graden gedraaid ligt. De snijpunten van beide krommen liggen bij (1,1) en (-1,-1), en er lijken er nog twee te zijn.
Bijlagen
naamloos.GIF
naamloos.GIF (3.2 KiB) 301 keer bekeken
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 21:29

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

y=-x levert geen reeele oplossing, hoogstens x=+/- i, maar die kloppen niet in de oorspronkelijke opgave.
Hoezo niet? Bijvoorbeeld:
\(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}} \to - i = \frac{{2i}}{{{i^2} + {{\left( { - i} \right)}^2}}} \Leftrightarrow - i = \frac{{2i}}{{ - 2}} \Leftrightarrow - i = - i\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 21:40

bessie

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Oplossingen dus (i,-i), (-i,i), (1,1) en (-1,-1). Ik denk dat ik het begrijp, bedankt weer.
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 21:42

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Klopt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 22:26

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Aangezien ik nu pas terug inval is alles ondertussen blijkbaar reeds gezegd...
Als je nu
\( \frac{2x}{y}= \frac{2y}{x} \)
ofwel
\( x^2=y^2 \)
verder uitwerkt dan krijg je 2 reele oplossingen voor x en y, en 2 complexe oplossingen.
Als ik het hier had over 'verder uitwerken' dan bedoelde ik natuurlijk 'het stelsel verder oplossen': dus de 2 oplossingen (x=y en x=-y) invullen in 1 van de originele vergelijkingen en dan bekom je inderdaad (1,1) en (-1,-1) , ( i,-i) en (-i,i) ; dus de 2 reele en de 2 complexe oplossingen voor x en voor y waarover ik het had.

Maar dat was ondertussen al duidelijk...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 09-08-'10, 23:56

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Voor de vragensteller vermoed ik overigens dat het een stelsel in reële onbekenden x en y was; dus de complexe oplossingen zijn dan niet relevant. Misschien schrikt ons heel verhaal namelijk wat af, voor de eigenlijke vraag.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 08:14

motionpictures88

Berichten: 197

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

bedankt voor de feedback! Ik heb inderdaad enkel reële oplossingen nodig.
Omhoog

Bericht 10-08-'10, 11:39

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oplossen stelsel met 2 vergelijkingen en 2 onbekenden

Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”