Springen naar inhoud

Belang van tweede afgeleide


  • Log in om te kunnen reageren

#1

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2010 - 23:26

Hoi,

Hopelijk geen al te stomme vragen, maar ik ben bezig met afgeleiden en de conclusies die je daarmee kan opdoen, en had de volgende vragen:

Ik probeer te begrijpen wat juist het belang is van de tweede afgeleide. Zelf heb ik steeds geprobeerd om aan de hand van de eerste afgeleide te zien of het een minimum, maximum of buigpunt is.

Stel dat we de volgende eerste afgeleide behandelen:

Geplaatste afbeelding

In het tekenschema zal er dus het nulpunt van de eerste afgeleide staan, met zowel links als rechts daarvan een +. De eerste afgeleide stijgt namelijk heel de tijd, buiten op het punt x=0, waar y even 0 wordt.

Uit het feit dat de eerste afgeleide stijgt, dan even horizontaal loopt, en daarna terug stijgt, kan toch opgemaakt worden dat het hier over een buigpunt gaat?

Dan zijn er nog twee andere gevallen, waarbij de afgeleide stijgt, horizontaal loopt, daalt. Hier heeft de functie een lokaal maximum. Het andere geval heeft een dalende afgeleide, loopt horizontaal, en stijgt vervolgens. In dat geval is er dus een lokaal minimum.

Voor zover ik weet, geeft de tweede afgeleide de mate van verandering van de eerste afgeleide aan. Echter, denk ik, beschik ik toch reeds over genoeg informatie om mijn stationaire punten te bepalen, en te kijken of het minima, maxima of buigpunten zijn?

In mijn wiskunde cursus (en op wikipedia) wordt de waarde van de tweede afgeleide in het punt c aangehaald om te zien of we het over een minimum, maximum of een buigpunt hebben.

Quote:

Een toepassing van de tweede afgeleide is het volgende. Indien x een punt is waarvoor geldt dat f'(x) = 0, dan is het punt x een buigpunt, een lokaal maximum of een lokaal minimum. Deze drie gevallen kunnen onderscheiden worden door naar de tweede afgeleide te kijken. Wanneer f(2)(x) < 0, dan is er sprake van een lokaal maximum, en wanneer f(2)(x) > 0, dan spreken we van een lokaal minimum. Als f(2)(x) = 0, dan is nader onderzoek nodig van het verloop van de tweede afgeleide in een omgeving van x, om een uitspraak (buigpunt, lokaal maximum, lokaal minimum) te kunnen doen.


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 augustus 2010 - 23:39

Ik probeer te begrijpen wat juist het belang is van de tweede afgeleide. Zelf heb ik steeds geprobeerd om aan de hand van de eerste afgeleide te zien of het een minimum, maximum of buigpunt is.

Misschien is dit alvast een handig inzicht, maar je moet er wel goed bij nadenken: de tweede afgeleide vertelt over de eerste afgeleide, wat de eerste over de oorspronkelijke functie zegt.

Stel dat we de volgende eerste afgeleide behandelen:

Geplaatste afbeelding

In het tekenschema zal er dus het nulpunt van de eerste afgeleide staan, met zowel links als rechts daarvan een +. De eerste afgeleide stijgt namelijk heel de tijd, buiten op het punt x=0, waar y even 0 wordt.

Dat klopt, maar pas op voor een mogelijke denkfout: het is niet de essentieel dat y daar even 0 wordt, dat heeft op zich met die nulle afgeleide niets te maken, dat is hier toevallig zo. Schuif de grafiek 1 eenheid verticaal omhoog en de afgeleide is nog steeds 0 in x = 0, maar daar is y positief; y wordt 0 in een ander punt (waar de afgeleide dan weer niet 0 is).

Uit het feit dat de eerste afgeleide stijgt, dan even horizontaal loopt, en daarna terug stijgt, kan toch opgemaakt worden dat het hier over een buigpunt gaat?

Nu haal je de functie en de afgeleide door elkaar: het is de functie zelf die stijgt, even "stopt met stijgen" en dan weer verder stijgt. Het is dus de functie zelf die er een buigpunt heeft, niet de eerste afgeleide. Die eerste afgeleide is zeker niet overal stijgend...

Dan zijn er nog twee andere gevallen, waarbij de afgeleide stijgt, horizontaal loopt, daalt. Hier heeft de functie een lokaal maximum. Het andere geval heeft een dalende afgeleide, loopt horizontaal, en stijgt vervolgens. In dat geval is er dus een lokaal minimum.

Zelfde opmerking: de functie heeft een (lokaal) maximum omdat de functie stijgt, stopt met stijgen, daalt; niet de eerste afgeleide! Analoog bij het minimum.

Voor zover ik weet, geeft de tweede afgeleide de mate van verandering van de eerste afgeleide aan. Echter, denk ik, beschik ik toch reeds over genoeg informatie om mijn stationaire punten te bepalen, en te kijken of het minima, maxima of buigpunten zijn?

Met het tekenverloop van de eerste afgeleide heb je voldoende. Je kan ook de waarde van de eerste en de tweede afgeleide in het punt zelf gebruiken; dan hoef je (het teken van) de eerste afgeleide niet in de buurt van het punt te kennen maar alleen in het punt zelf.

Je kan misschien zelf nagaan, opzoeken of beredeneren hoe je min/max/buigpunt precies opspoort met het tekenverloop van de eerste afgeleide enerzijds; en met de waarde van de eerste en de tweede afgeleide in dat punt anderzijds.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 00:40

Blijkbaar was ik inderdaad even in de war met het verschil tussen de eerste afgeleide en de functie zelf.

Dus als ik het goed begrijp is het eigelijk via twee manieren mogelijk om tot een oplossing te komen, namelijk:

1) tekenschema gebruiken met eerste afgeleide
2) eerste en tweede afgeleide in het punt zelf uitrekenen

Waarbij de tweede methode eigelijk veel accurater is, aangezien het tekenschema in veel gevallen berust op het kijken naar de waarden van de eerste afgeleide, "iets voor" en "iets na" het nulpunt? De mate van "iets voor" en "iets na" kunnen namelijk te ver ervoor of te ver erna zijn.

Verder denk ik de tweede methode nu ook te begrijpen. Een afgeleide van een functie is de mate verandering van een functie. Als de tweede afgeleide dus een mate van verandering van de eerste voorstelt, en in het bewuste nulpunt van de eerste wordt bekeken, dan kan hieruit min/max worden afgeleid. Als f''(x) namelijk > 0 of < 0 dan wil dat zeggen dat de eerste afgeleide daar stijgt of daalt. Als ik dat in verband breng met het - 0 + zijn van de eerste afgeleide in het tekenschema, kan je dus op die manier ook een minimum of maximum afleiden.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 00:45

Waarbij de tweede methode eigelijk veel accurater is, aangezien het tekenschema in veel gevallen berust op het kijken naar de waarden van de eerste afgeleide, "iets voor" en "iets na" het nulpunt? De mate van "iets voor" en "iets na" kunnen namelijk te ver ervoor of te ver erna zijn.

Nee hoor, beide zijn "even accuraat" in die zin dat ze beide "exact" zijn. Onder tekenverloop versta ik dan wel een algebraÔsch bepaald tekenverloop, niet zomaar een "waarde in de buurt invullen". Je hebt wellicht van functies toch tekenverlopen (exact, 'met de hand') moeten bepalen? Dat is hier niet anders, alleen is de functie waar je dat bij doet, de eerste afgeleide van een (andere) functie.

Verder denk ik de tweede methode nu ook te begrijpen. Een afgeleide van een functie is de mate verandering van een functie. Als de tweede afgeleide dus een mate van verandering van de eerste voorstelt, en in het bewuste nulpunt van de eerste wordt bekeken, dan kan hieruit min/max worden afgeleid. Als f''(x) namelijk > 0 of < 0 dan wil dat zeggen dat de eerste afgeleide daar stijgt of daalt. Als ik dat in verband breng met het - 0 + zijn van de eerste afgeleide in het tekenschema, kan je dus op die manier ook een minimum of maximum afleiden.

Inderdaad; het teken van de tweede afgeleide zegt iets over het stijgen/dalen van de eerste; precies wat je nodig hebt om over een extremum te kunnen besluiten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 00:49

Onder tekenverloop versta ik dan wel een algebraÔsch bepaald tekenverloop, niet zomaar een "waarde in de buurt invullen". Je hebt wellicht van functies toch tekenverlopen (exact, 'met de hand') moeten bepalen?


Wat bedoelt U juist met algebraisch bepaald? De manier die ik mij kan herinneren is het invullen van een waarde dichtbij het punt, of het kijken naar de tekening.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 00:52

Dat klinkt 'slordiger' dan het in de praktijk gewoonlijk is: van een continue functie weet je immers dat die enkel van teken wisselt door via een nulpunt te gaan. Als je dus een tekenonderzoek doet van een continue functie, volstaat het alle (!) nulpunten te vinden en kan je het teken tussen al die nulpunten vinden door telkens een (verder willekeurige) waarde tussen twee nulpunten in te vullen. Maar 'zomaar' een waarde 'dichtbij' invullen, als je niet weet of er nog andere nulpunten zijn, is wel 'slordig'. Begrijp je het verschil en waarom de eerste methode eveneens accuraat is, als je het op de goede manier doet?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 00:59

Als je dus een tekenonderzoek doet van een continue functie, volstaat het alle (!) nulpunten te vinden en kan je het teken tussen al die nulpunten vinden door telkens een (verder willekeurige) waarde tussen twee nulpunten in te vullen.


Dat klinkt inderdaad logisch, en maakt het ook gewoon perfect "accuraat" inderdaad. Uiteindelijk heb je dus zelf de keuze of je een tekenonderzoek wil opstellen of gewoon de afgeleiden allebei in het punt wil berekenen, als ik het goed begrijp.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 01:02

Klopt!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 01:06

In orde.

Als laatste vraag ik me dan wel nog af waarom het geval waarbij de tweede afgeleide gelijk is aan nul, onbeslist blijft? Als het geen minimum of geen maximum is, waarom mogen we dan niet zonder twijfel spreken van een buigpunt?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 13:34

Als het geen min/max is en de eerste afgeleide is er 0, dan is het een buigpunt. Maar het is niet omdat de tweede afgeleide 0 is, dat het ook een buigpunt is. Kijk bv. naar y = xn voor n = 3,4,5.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11


  • Gast

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 13:47

Dat begrijp ik niet helemaal. Is x=0 voor f(x)=x^3 dan geen buigpunt? Het is een zadelpunt, ok, maar toch ook een buigpunt? Of heb ik niet goed gelezen?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 13:57

Dat begrijp ik niet helemaal. Is x=0 voor f(x)=x^3 dan geen buigpunt? Het is een zadelpunt, ok, maar toch ook een buigpunt? Of heb ik niet goed gelezen?

Een buigpunt is niets anders dan een zadelpunt voor functies van ťťn veranderlijke; buigpunt is dan gebruikelijker dan zadelpunt. En ja, in x = 0 heeft x≥ een buigpunt, maar dat wordt toch ook nergens tegengesproken? Maar: het is niet (alleen) omdat de tweede afgeleide er 0 is, dat het een buigpunt is; kijk maar naar een macht hoger...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13


  • Gast

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 14:03

Ha ha nogal logisch! Maar dat geldt ook voor n=1... Van de functie f(x)=x is de tweede afgeleide altijd nul maar hij heeft niet eens een buigpunt... Was even in de war door jouw n=3,4,5 maar zo klopt het weer.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2010 - 14:19

Okť. Het is vergelijkbaar met max/min en de eerste afgeleide: het is niet omdat de eerste afgeleide 0 is, dat je er ook een max/min hebt; de eerste afgeleide moet er van teken wisselen. Analoog met de tweede afgeleide voor een buigpunt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

christopheb

    christopheb


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 13:36

Om toch nog even duidelijk te maken wat ik juist bedoelde verwijs ik naar het volgende fragment:

Geplaatste afbeelding

Dus mijn vraag is, waarom is er geen conclusie bij het laatste geval? Indien de tweede afgeleide niet stijgt (lokaal minimum), niet daalt (lokaal maximum), waarom is er dan geen buigpunt? Of misschien anders gesteld, hoe kan je dan wťl weten of er een buigpunt is?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures