Vierkant

lucca

ABCD is een rechthoek ; AB = 1 en BC = 2.

PQRS is een vierkant ; PQ = 3.

Het vierkant wordt zo op de rechthoek geplaatst dat PQ door A gaat en Q op BC ligt. ALs Q van B naar C geschoven wordt ( waarbij A op PQ blijft), dan bereikt de oppervlakte van het niet door het vierkant bedekte deel van de rechthoek eerst een maximum en later een plaatselijk minimum. In welke punten van BC bevindt Q zich dan?

Ik dacht als volgt :

er zijn 2 te berekenen oppervlaktes, de beneden driehoek en de bovendriehoek.

onderdriehoek

x in graden

\( \frac{1}{2}* tanx * 1 * 1 \)

bovendriehoek

\( \frac{1}{2} (tanx * (2-tanx))*(2-tanx) \)

dan volgt :

\( A_{oppervlakte} = \frac{1}{2}* tanx + \frac{1}{2} (2tanx - tan^2x)(2-tanx) \)

\( A_{oppervlakte} = \frac{1}{2}* tanx + \frac{1}{2} (4tanx-2tan^2x-2tan^2x+tan^3x) \)

Zit ik nu op de goede weg of sla ik de plank (volledig?) mis...

JWvdVeer

Volgende keer als je plaatjes tekent, a.u.b. ook letters bij de hoeken e.d. zetten, zodat we weten wat je afbeeldt. Nu moet je dat volledig uit je verhaal deduceren, wat error-prone is.

Inderdaat zou ik dezelfde methode volgen als jij doet. Al zou ik vooraf ook nog even domeinen aangeven. Gezien je de lengte van de zijde PQ weet, weet je ook al in welk gebied je moet zoeken. (Namelijk...?).

De oppervlakte die jij moet berekenen is:

\(\frac{1}{2}\cdot [AB] \cdot [BQ] + \frac{1}{2}\cdot (2 - [BQ]) \cdot d(C, [QR])\)

Die halfjes kun je sowieso al buiten de formule halen en laten vallen (het maakt niet uit of iets vermenigvuldig met een half maximaal is of dat het niet vermenigvuldigd met een half maximaal is).

Inderdaad geldt:

\([AB] \cdot [BQ] = \tan{x}\)

Maar hier ben ik het niet helemaal mee eens:

\((2 - [BQ]) \cdot d(C, [QR]) = (4\tan{x}-2\tan^2x-2\tan^2x+\tan^3x)\)

Het kan zijn dat ik het gewoon niet zie. Maar ik kom in mijn formule sowieso niet boven de tweede macht uit... Dat maakt het oplossen ook iets eenvoudiger denk ik

.

BTW: Om je gelijk maar wat verder op te voeden (

), in LaTeX schrijf je de functies als \functienaam{argument}. Tenminste, voor de functie die LaTeX hier kent. Dus: \sin, \tan, \cos, ...

lucca

(goede tip voor de volgende keer;))

1

\(2-[BQ] = 2 - \tan{x} \)

2

\( d(C,[QR]) = \tan{x} * [2-BQ] \)

dus:

\( d(C,[QR]) = \tan{x} * (2-\tan{x}) \)

3

hieruit volgt dan :

\( A = L * B * 0,5 = (2-\tan{x}) * (\tan{x} *(2-\tan{x})) * 0,5 \)

onlogisch?

JWvdVeer

Inderdaad, dit is de logische variant. Zelf had ik die factor ½ er ook al uitgesloopt. En kwam tot:

\(\tan x + (2 - \tan x) \cdot \tan x\)

. Deze kun je verder uitwerken, al is het maar voor het gemak wat je daarvan hebt bij het differentiëren.

Succes!

Westy

: rechthoeken.JPG (20.73 KiB) 346 keer bekeken

Er is -denk ik- een makkelijker methode, als volgt:

opp onderste driehoek =

\(\frac{x}{2}\)

opp bovenste driehoek =

\( \frac{y(2-x)}{2}\)

nu is:

\( tan t = \frac{y}{2-x} \)

in bovenste driehoek

\( tan t = x\)

in onderste driehoek

dus

\( y=x(2-x)\)

invullen in opp driehoek geeft:

opp van de 2 driehoeken =A

\(A= \frac{x}{2}+\frac{x(2-x)^2}{2}\)

nu dus A afleiden naar x, gelijkstellen aan 0 om de x te bepalen waarvoor A een maximum-minimum heeft

Dat zou moeten lukken?

JWvdVeer

Inderdaad is dat een veel snellere methode. Je doet het dan niet op basis van de hoek, maar meer op basis van de positie van punt Q.

Echter moet je nog met twee dingen rekening houden:

\((y = x(2 - x)) \leq (CD = 1) \longrightarrow x ....?\)

.

\(AQ \leq (PQ = 3) \longrightarrow .... \longrightarrow x ....?\)

Bedenk wel wat er relevant is in onze situatie en wat niet...

Westy

Inderdaad, want als x > 1 dan heb je geen driehoek meer bovenaan, maar dit is in feite geen probleem, want als je het maximum bekijkt: dat heb je voor x=1, maw dan ligt Q halverwege tussen B en C en valt T samen met D.

dan is de oppervlakte van de 2 driehoeken gelijk aan de helft van de opp van de rechthoek ofwel =1

Heel veel van deze extremumproblemen hebben hun oplossing in de meest symmetrische situatie...

Westy

correctie op vorige post:

Met die 2 voorwaarden die JWvdVeer opsomt is steeds voldaan:

je kan aantonen dat, zelfs als x>1 (dus als Q tussen B en C beweegt, maw 0<x<2), steeds zal y<1 zijn (met x en y zoals aangeduid in mijn tekening). Maw zelfs als x>1 zullen we bovenaan steeds een driehoek hebben omdat T steeds tussen C en D zal liggen;

daarenboven zal -als Q tussen B en C beweegt- de afstand AQ steeds kleiner zijn dan 3, dus aan die voorwaarde is ook steeds voldaan.

dus

maximum dus voor x=1

minimum voor x=5/3

JWvdVeer

Met die 2 oorwaarden die JWvdVeer opsomt is steeds voldaan:

Inderdaad, je moet voor de ene voorwaarde tussen 0 en 1 blijven. En voor de andere voorwaarde tussen 0 en de wortel van 8, geloof ik.

Westy

nee hoor, x mag gaan van 0 tot 2 zonder probleem

dan blijft y steeds onder de 1, en dan blijft alles kloppen.

(x en y zoals op mijn tekening)

de maximum lengte van AQ is dan

\(\sqrt5\)

lucca

Om even terug te komen op de oppervlakte van het bovenste vierkant

\( A = L * b \)

\( L = (2-\tan{x}) \)

\( B = \tan{x} * (2-\tan{x}) \)

Dat levert uiteindelijk dan wel een 3de macht tangens, volgens mij klopt dat wel, toch?

JWvdVeer

Dat levert uiteindelijk dan wel een 3de macht tangens, volgens mij klopt dat wel, toch?

We hebben in feite twee driehoeken. Namelijk het onderste (ABQ) en het bovenste (CQT). Deze twee moet je optellen om de oppervlakte te bepalen.

Ik noem de hoek nu even alpha, dit is hoek

\(\angle BAQ\)

, om even niet in verwarring te komen met de x die Westy nu hanteert.

Dat is dus:

\(O(\alpha) = ½ \cdot [AB] \cdot [BQ] + ½ \cdot [CQ] \cdot [CT] = ½([AB] \cdot [BQ] + [CQ] \cdot [CT])\)

.

We hadden al gezien dat de volgende dingen golden (gebruik even Westy's plaatje):

\([AB] = 1\)

\([BQ] = \tan \alpha\)

\([CQ] = (2 - [BQ]) = (2 - \tan \alpha)\)

\([CT] = \tan \alpha \cdot [CQ] = \tan \alpha \cdot (2 - \tan \alpha)\)

Als je nu de formule voor O gaat uitwerken krijg je inderdaad een derde macht. Maar je moet maar kijken wat daar na het afleiden nog van overblijft.

Overigens, denk ik dat het handiger is om voor de methode van westy te gaan en te stellen:

\([BQ] = x\)

, om vervolgens alle onbekende hoeken in x uit te drukken.

\([AB] = 1\)

\([CQ] = 2 - [BQ] = 2-x\)

Vanuit gelijkvormigheid van ABQ en CQT (twee gelijke hoeken, hh) kun je dan vervolgens stellen:

\(\frac{x}{1} = \frac{[CT]}{[CQ]} \longrightarrow [CT] = x \cdot [CQ] = x(2-x)\)

lucca

Nee, oké. Dan is het goed, je zei eerst dat die 3de macht niet goed was.

Ik heb het zelf even uitgeschreven (afgeleide) en dat leidt tot : (als ik me niet vergis)

\( \frac{dA_{oppervlakte}}{dx} = \frac{3\tan^2{x}-8\tan{x}+5}{\cos^2{x}} \)

Tweede graads vergelijking, dus subst. van q = tanx

dan krijg je :

\( \tan{x}=1 \)

\( \tan{x}=\frac{5}{3} \)

Iedereen bedankt!

Westy

die antwoorden 1 en 5/3 komen inderdaad overeen met wat ik berekende volgens mijn methode (zie post ergens hierboven) , die trouwens grotendeels overeenkomt met de jouwe, maar dan zonder tangens in de uiteindeleijke forrmule, wat afleiden en gelijkstellen aan 0 wat makkelijker maakte...

Graag gedaan.

lucca

Die manier is inderdaad ''iets''

sneller, haha! Ook een mooie manier trouwens!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vierkant

Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant

Re: Vierkant