Beste mensen,
Ik ben me aan het voorbereiden voor een toelatingstest in Belgie. Hierbij komt voor wiskunde wat stof om de hoek kijken die nieuw voor mij zijn, waaronder limieten. En daar begint het probleem: Wat zijn limieten nou precies, wat is de functie, wat kan je ermee? Wanneer zijn er limieten? Het berekenen zelfs zal het probleem niet worden maar het wordt een stuk makkelijker als ik ook begrijp wat ik doe. Bvd,
Isabelle
Laatste berichten
-
14:55
wig
-
14:55
Herleiden afmetingen vanaf een foto 20
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
12:01
Gravity and gravitation 1
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Limieten
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 581
Re: Limieten
Beste Isabelle,
wat je hier vraagt is niet zomaar in 1 2 3 uit te leggen.
Ik denk dat ik je dus best kan doorverwijzen naar enkele websites (engelstalig, ik hoop dat dat geen probleem is?) (er moeten zonder twijfel ook nederlandstalige sites te vinden zijn, maar die had ik niet zo direct bij de hand...):
Je kan evt hier 's naar kijken?
(surf gerust wat rond, er staat nog veel meer info -en niet alleen over limieten- op deze site, met veel uitleg en goede voorbeelden)
Als het enkel over oefeningen gaat dan heb je hier misschien iets aan? (hier vind je oefeningen + oplossingen)
Mvg,
wat je hier vraagt is niet zomaar in 1 2 3 uit te leggen.
Ik denk dat ik je dus best kan doorverwijzen naar enkele websites (engelstalig, ik hoop dat dat geen probleem is?) (er moeten zonder twijfel ook nederlandstalige sites te vinden zijn, maar die had ik niet zo direct bij de hand...):
Je kan evt hier 's naar kijken?
(surf gerust wat rond, er staat nog veel meer info -en niet alleen over limieten- op deze site, met veel uitleg en goede voorbeelden)
Als het enkel over oefeningen gaat dan heb je hier misschien iets aan? (hier vind je oefeningen + oplossingen)
Mvg,
---WAF!---
-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten
Stel je hebt de functie
Dan weet jij uit ervaring waarschijnlijk dat deze functie niet bestaat bu x = -1.
Echter je weet ook dat als jij hem uit laat tekenen in je GR dat ie heel snel omhoog gaat op het domein [-1.1, -1). En van heel stijl boven naar boven komt op het domein (-1, -0.9].
Ofwel, als je van links komt is de limiet van de functie positief oneindig. En als je van rechts komt is de limiet van de functie negatief oneindig.
In formuleform:
Nu heb je ook nog andere limieten, namelijk: wat is de waarde van een functie in het oneindige? Ik neem aan dat je wel eens van een asymptoot hebt gehoord. Een functie groeit zegt maar naar een bepaalde waarde toe, maar bereikt deze nooit.
Hiervoor kunnen we dezelfde functie gebruiken. Deze heeft namelijk zowel een horizontale als verticale asymptoot (teken maar uit in je GR).
Je kunt daar een aantal verschillende manieren voor gebruiken. Hier kun je bijvoorbeeld gebruikmaken van serie-expansie (weet even niet hoe je dat exact noemt). Maar je kunt ook de regel van l'Hopital gebruiken.
Deze zegt:
\(f(x) = \frac{2x}{x + 1}\)
.Dan weet jij uit ervaring waarschijnlijk dat deze functie niet bestaat bu x = -1.
Echter je weet ook dat als jij hem uit laat tekenen in je GR dat ie heel snel omhoog gaat op het domein [-1.1, -1). En van heel stijl boven naar boven komt op het domein (-1, -0.9].
Ofwel, als je van links komt is de limiet van de functie positief oneindig. En als je van rechts komt is de limiet van de functie negatief oneindig.
In formuleform:
\(\lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{2x}{x + 1} = \infty\)
\(\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{2x}{x + 1} = -\infty\)
(zie ook maar eens: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%2...2F%28x+%2B+1%29).Nu heb je ook nog andere limieten, namelijk: wat is de waarde van een functie in het oneindige? Ik neem aan dat je wel eens van een asymptoot hebt gehoord. Een functie groeit zegt maar naar een bepaalde waarde toe, maar bereikt deze nooit.
Hiervoor kunnen we dezelfde functie gebruiken. Deze heeft namelijk zowel een horizontale als verticale asymptoot (teken maar uit in je GR).
Je kunt daar een aantal verschillende manieren voor gebruiken. Hier kun je bijvoorbeeld gebruikmaken van serie-expansie (weet even niet hoe je dat exact noemt). Maar je kunt ook de regel van l'Hopital gebruiken.
Deze zegt:
\((f(x) = \pm \infty \wedge g(x) \pm \infty) \vee f(x) = g(x) = 0\)
(in normaal nederlands: als functie f op x positief of negatief oneindig is, en functie g is dat ook (dus ook de situatie waarbij f negatief oneindig is en g positief oneindig) of beiden zijn 0 op dit punt), waarbij je x de limietwaarde is. Dan geldt:\(\lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
In ons geval: \((f(x) = 2x \rightarrow f'(x) = 2 \wedge g(x) = x + 1 \rightarrow g'(x) = 1) \rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infy} \rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2}{1} = 2\)
Zie ook http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%2...2F%28x+%2B+1%29.-
- Berichten: 24.578
Re: Limieten
Niet dat ik denk dat Isabellex dit al kan volgen zonder begrip van limieten, maar je gaat toch geen reeksontwikkeling of l'Hôpital gebruiken voor een veeltermbreuk? Dat is veel te "zwaar geschut" voor een limiet van zo'n functie, veel eenvoudiger krijg je ze niet. Met 'overdreven veel' stappen:
Overigens is het een misvatting dat een functie alleen maar 'nadert naar een asymptoot' maar die nooit kan snijden/bereiken/...
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{2}{{1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}}} = \frac{2}{{1 + 0}} = 2\)
Of als vuistregel: de limiet op oneindig van een veeltermbreuk met gelijke graad in teller en noemer, is de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten.Overigens is het een misvatting dat een functie alleen maar 'nadert naar een asymptoot' maar die nooit kan snijden/bereiken/...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 1.116
Re: Limieten
Inderdaad, je hebt gelijk. Maar je kunt iemand wel alle fijne technieken gaan aanleren. Maar zo te zien heeft de TS nog maar weinig tijd. En eigenlijk zou ik dan zeggen: met l'Hopital kom je er dan wss. uit de meeste voorgelegde situaties. Je hebt altijd nog een paar situaties waar dit niet het geval is (de delingen bijv., maar die spreken voor zich). En daar kun je dan pech hebben 
.
Mijn voorstel: we leren TS de regel van l'Hopital aan en houden haar voor dit in alle situaties te gebruiken?
Sowieso was het geheel bedoeld als voorbeeld. De TS had zelfs waarschijnlijk ook al kunnen zien dat 1 verwaarloosbaar is ten opzichte van oneindig .
.Mijn voorstel: we leren TS de regel van l'Hopital aan en houden haar voor dit in alle situaties te gebruiken?
Sowieso was het geheel bedoeld als voorbeeld. De TS had zelfs waarschijnlijk ook al kunnen zien dat 1 verwaarloosbaar is ten opzichte van oneindig
.Inderdaad, je hebt bijv. ook van die sinusfuncties die om de asymptoot heen blijven springen en elke keer de x-as doorsnijden. Maar dit is wel wat volgens mij geleerd wordt op de middelbare scholen in NL.Overigens is het een misvatting dat een functie alleen maar 'nadert naar een asymptoot' maar die nooit kan snijden/bereiken/...
-
- Berichten: 24.578
Re: Limieten
Voor iemand die niet weet wat het concept "limiet" betekent, lijkt me dat niet evident...De TS had zelfs waarschijnlijk ook al kunnen zien dat 1 verwaarloosbaar is ten opzichte van oneindig
Ik weet dat het zo veel 'gezegd' en misschien zelfs 'aangeleerd' wordt; vandaar "misvatting". Voor mij een reden te meer om op te merken dat dit dus niet klopt; vnl. voor volgende lezers.Inderdaad, je hebt bijv. ook van die sinusfuncties die om de asymptoot heen blijven springen en elke keer de x-as doorsnijden. Maar dit is wel wat volgens mij geleerd wordt op de middelbare scholen in NL.
Een gewone sinusfunctie heeft geen asymptoot, maar bv. wel sin(x)/x en die snijdt de asymptoot inderdaad oneindig vaak. Of nog eenvoudiger: functies die (deels) samenvallen met de asymptoot (i.h.b. op oneindig dus), die "bereiken" de asymptoot zeker.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 47
Re: Limieten
Erg bedankt allemaal! ik snap het nu wel! die engelse site was echt heel fijn. Deze site was ook erg nuttig: http://patrickjmt.com/ Misschien dat jullie daar ooit iets aan hebben.
Bedankt! xxx
Bedankt! xxx
