Springen naar inhoud

Bepalen van ongebonden extrema van een f(x,y)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 08:25

Hallo beste WSFers,

Ik sukkel al geruime tijd met de volgende opgave:

gegeven:LaTeX
gevraagd: Geef een volledig extremumonderzoek
oplossing:

De nodige voorwaarde voor een extremum levert volgend stelsel:

LaTeX

Ik ben erin geslaagd 2 oplossingen te halen uit dit stelsel nl. LaTeX en LaTeX

VoorLaTeX kan ik steunen op de Hessiaanmatrix om aan te tonen dat dit een maximum is, voor LaTeX kan ik (met de Hessiaanmatrix) geen besluit trekken.

Hoe toon ik aan dat (0,0) een minimum is? (Ik denk dat we hiervoor de "directionele afgeleide" gebruikt hebben)

Is het juist dat de Hessiaan niet kan gebruikt worden voor (0,0) omdat dat een randpunt is van de definitieverzameling van f(x,y)? Hoe bepaal je best de verzameling van randpunten van de definitieverzameling van een (kwadratische) functie in 2 veranderlijken?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 10:39

Je kan je definitieverzameling eens schetsen, dan zie je duidelijk de rand. De randpunten moet je inderdaad apart nagaan, de methode met de Hessiaan levert je enkel informatie voor inwendige punten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 19:09

Hoe toon ik aan dat (0,0) een minimum is?


Om dit aan te tonen hebben we de definitie voor een lokaal minimun gebruikt: In een open bal rond (0,0) (in de definitieverzameling) moeten alle corresponderende functiewaarden groter zijn dan de functiewaarde die hoort bij (0,0).

Hoe kan ik aantonen dat hier aan deze definitie voldaan is ?

LaTeX


Dit is hier de definitieverzameling ==> (0,0) is een randpunt.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 19:14

Via de Hessiaan kan je alvast de interne extrema opsporen. Eventuele extrema op de rand, moet je apart nagaan. Daarvoor moet je in principe de functie onderzoeken over de volledige rand, dat zijn hier 4 stukken (het gebied is een rechthoek). Stel bijvoorbeeld y = 0 en ga na wat de functie doet op de x-as; in feite een functie onderzoek van een functie van ťťn variabele.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 19:47

Bedankt voor de antwoorden!

Ik denk dat ik kan aantonen dat (0,0) een minimum is door de directionele afgeleide vanuit (0,0) in de richtingen (1,0) en (0,1) uit te rekenen. Maar hou ik dan ook rekening met de toename voor de richtingen (0<a<1 ,0) en (0, 0<b<1) want de functie zou eerst kunnen dalen maar bij het punt (0,1) al weer genoeg zijn gestegen om toch van een toename te spreken.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 20:16

Wat wil je precies doen met die richtingsafgeleiden? Het volstaat in elk geval de extrema op de rand na te gaan (opnieuw inwendig buiten de 'randpunten van de rand', en apart evalueren in de eindpunten zoals (0,0) er een is); naast de controle van de inwendige punten via de Hessiaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2010 - 22:26

hallo,

Ik ben nog niet volledig uit deze oefening, het volgende heb ik wel al:

De verzameling van alle randpunten van het definitiegebied wordt hier grafisch weergegeven door alle punten op de omtrek van de rechthoek met hoekpunten LaTeX

Ik denk dat ik als volgt kan aantonen dat (0,0) een minimum is:
We vullen de toenames h en k in en bekomen

(0+h,0+k) = (h,k) invullen geeft f(x,y)= sin(h)+sin(k)+sin(h+k)met LaTeX

Bijgevolg is de waardenverzameling van deze functie strikt positief, dus is (0,0) een minimum.

Ik dacht dat ik hiermee deze oefening volledig begrepen had maar dan heb ik nog het volgende gevonden over deze oefening gevonden. (de quote hieronder is geschreven door een assistent op een intern forum)

Stap 1 is om kandidaten extrema te vinden bij de randpunten. Daarvoor moeten we de hele rand overlopen.

De volgende stap is om voor deze gevonden kandidaten te onderzoeken of het nog steeds extrema zijn wanneer we ze vergelijking met het inwendige van het te onderzoeken gebied. Daarvoor kunnen we de directionele afgeleide gebruiken. Deze moeten we enkel onderzoeken voor richtingen die het gegeven gebied binnengaan vanuit het punt dat we bekijken: is "alpha" positief dan kijken we naar 'rechts', negatief naar 'links', is "beta" positief dan kijken we naar 'boven', negatief naar 'beneden', als de richting waarin we kijken (alpha, beta) is.


Wat bedoeld hij met "kandidaten extrema te vinden bij de randpunten" ?

Ik denkt het volgende:
Voor elke zijde van de rechthoek (die hier het definitiegebied afbakent) kun je een partiŽle functie opstellen. Bedoelt men dan met kandidaten: eventuele stationaire punten(punten waarvoor de afgeleide =0) van deze partiŽle functies.

En wat ik ook zeer graag zou weten is waarvoor en hoe dat die directionele afgeleide hier gebuikt wordt. (Ik herinner me nog iets gelijkaardigs op het examen eerste zit. )

Alvast bedankt aan iedereen die mij hiermee kan helpen!

#8

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 augustus 2010 - 22:57

En wat ik ook zeer graag zou weten is waarvoor en hoe dat die directionele afgeleide hier gebuikt wordt. (Ik herinner me nog iets gelijkaardigs op het examen eerste zit. )


is deze methode correct?

Voor het punt (0,0) richting LaTeX
Voor het punt LaTeX richting LaTeX
Voor het punt LaTeX richting LaTeX
Voor het punt LaTeX richting LaTeX

Ik heb dus de vector genomen die vanuit ieder hoekpunt wijst naar het overstaande hoekpunt.

Hier hebben de 4 partiŽle functies die het definitiegebied afbakenen geen andere stationaire punten buiten in een hoekpunt maar in andere oefeningen kan dit misschien wel zo zijn. Daarnaast vraag ik me ook af hoe je een richting zou moeten kiezen als het definitiegebied een cirkel is?

Is er een algemene regel om dergelijke richtingsvectoren te bepalen?

Veranderd door motionpictures88, 27 augustus 2010 - 23:04


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 09:26

Volgens mij heb je helemaal geen richtingsafgeleide nodig.

Ik denkt het volgende:
Voor elke zijde van de rechthoek (die hier het definitiegebied afbakent) kun je een partiŽle functie opstellen. Bedoelt men dan met kandidaten: eventuele stationaire punten(punten waarvoor de afgeleide =0) van deze partiŽle functies.

Dit is juist; je gaat dus de extrema op de rand bepalen. Let wel op, in het inwendige van de zijde kan dat via de stationaire punten, maar de twee randpunten (eindpunten van het lijnstuk) moet je weer apart nagaan; dat kan door de functie er gewoon te evalueren en de functiewaarden in die 'hoekpunten' te vergelijken met de functiewaarden in eventuele stationaire punten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 10:45

Ik denk dat ik als volgt kan aantonen dat (0,0) een minimum is:
We vullen de toenames h en k in en bekomen

(0+h,0+k) = (h,k) invullen geeft f(x,y)= sin(h)+sin(k)+sin(h+k)met Bericht bekijken

Volgens mij heb je helemaal geen richtingsafgeleide nodig.


Op mijn examen overmorgen moet ik de randpunten kunnen evalueren met een richtingsafgeleide! Het zou mij dan ook enorm veel helpen moest iemand weten hoe je dan de richtingvector concreet moet kiezen.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 10:59

Is dit correct?

Ja, maar ik betwijfel of je het in het algemeen altijd zal lukken om het zo te doen.

Eenvoudig blijft:
- extrema van partiŽle functies (van ťťn veranderlijke) nagaan, dat zijn hier 4 randkrommen maar de functies zullen er per paar gelijk zijn, dus slechts twee te onderzoeken; via afgeleide op het inwendige, functiewaarden gewoon berekenen in de eindpunten,
- eventuele extrema van hierboven vergelijken met gevonden extrema in het inwendige (m.b.v. de Hessiaan).

Moet je overigens enkel de globale, of ook de lokale extrema vinden?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12


  • Gast

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 11:11

Ik denk dat je het zo ongeveer moet doen, iom wat op jullie forum stond:
1. Voor elke rand de extremen bepalen op die rand, en vanuit die extremen 'in het gebied' kijken of het absolute of relatieve minima zijn.
Neem de rand x=pi/2, 0<y<pi/2. Hier geldt f=sin(pi/2)+sin(y)+sin(pi/2+y). Deze heeft op pi/4 een maximum, want de afgeleide naar y is daar nul. Nu moet je in (pi/2, pi/4) kijken wat de linker-afgeleide is naar x. Dus df/dx=cos(x)+cos(x+y), en die is in het genoemde punt ook nul. Voor x<pi/2 is de afgeleide naar x positief, dus bereikt f(x,y) in (pi/2,pi/4) een absoluut (maar voorlopig lokaal) maximum. De waarde van f is er 1+wortel(2).
Dit moet je voor alle drie andere randen ook doen.
2. Daarna ook nog eens voor alle vier hoekpunten. Als de afgeleide in een hoekpunt naar x het zelfde teken heeft als die naar y, bereikt f in het hoekpunt een extreem. Als zij ongelijk zijn van teken is er geen extreem.
Ik hoop dat je hiermee geholpen bent in de goede richting, succes,

Edit:ik heb iets langer over mijn bericht gedaan, het is geen reactie op de voorgaande maar op jouw eigen post.

Veranderd door bessie, 28 augustus 2010 - 11:12


#13

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 11:50

Moet je overigens enkel de globale, of ook de lokale extrema vinden?


Ik vermoed dat ik alles moet kunnen vinden.

@bessie heel erg bedankt om het eens uit te schrijven, als ik een dergelijke oefening krijg zal ik uw methode gebruiken.

(pi/2,pi/4) een absoluut (maar voorlopig lokaal) maximum.


ik dacht dat de begrippen globaal en absoluut minimum samenvielen. In mijn cursus is er enkel sprake van lokaal en globaal.

Bedankt voor hulp! Mss geraak ik er hiermee wel door!

#14


  • Gast

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 12:32

Je hebt gelijk. Absolute en relatieve extemen bestaan niet (meer). Het beschouwde punt is voorlopig een lokaal maximum, totdat is aangetoond dat geen der andere lokale maxima groter zijn, dan is het een globaal maximum geworden.

Wat als er meerdere even hoge maxima zijn? Dan zou je kunnen spreken over een relatief maximum, tegen een absoluut maximum dat groter is dan alle andere. Maar dat staat niet in mijn wiskundeboek.

Absolute hoogte- en dieptepunten bestaan overigens wel. Zij treden vaak op bij het globaal bekijken van de lokale examenuitslagen.

Veranderd door bessie, 28 augustus 2010 - 12:46


#15

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 augustus 2010 - 13:22

Je hebt gelijk. Absolute en relatieve extemen bestaan niet (meer). Het beschouwde punt is voorlopig een lokaal maximum, totdat is aangetoond dat geen der andere lokale maxima groter zijn, dan is het een globaal maximum geworden.


Ok nu snap ik wat u bedoelde!

Als ze mij op het intern forum nog uitleggen vanwaar die verwarrende richtingsafgeleide komt laat ik zeker iets weten, ik denk dat ik ze alleszins volledig verkeerd wou gebruiken. (anders hadden jullie wel gezien waar ik naartoe wou)

Veranderd door motionpictures88, 28 augustus 2010 - 13:27






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures