Springen naar inhoud

Algebra - deelbaarheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

clone007

    clone007


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 11:27

n≥+(n+1)≥+(n+2)≥
waarbij n een element is van N
Toon aan dat dit deelbaar is door 9.
Als je dit uitwerkt komt je 3n≥+9n≤+15n+9
Hoe moet ik nu verder?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 11:39

9n≤+9 is sowieso deelbaar door 9, dus je hoeft alleen nog aan te tonen dat 3n≥+15n deelbaar is door 9, oftewel dat n≥+5n deelbaar is door 3. Onderscheid eens de gevallen n=3k, n=3k+1, en n=3k+2 ?


Een andere manier zou met inductie zijn. Als we die term voor n even LaTeX noemen, volstaat het om aan te tonen dat uit A(n)=negenvoud volgt dat A(n+1)=negenvoud (want dan kun je zeggen: A(1)=36 en dat is een negenvoud, en dus uit A(1) volgt ook A(2), en dus ook A(3), enzovoort voor alle n).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 12:21

Deze opgave zal wel op verschillende plaatsen te vinden zijn, maar uit nieuwsgierigheid: waar heb jij de oefening vandaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4


  • Gast

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 14:05

Het eenvoudigste bewijs lijkt me
(3n≥+9n≤+15n+9)/3=n≥+3n≤+5n+3
en dat is een heel getal voor alle n.
Maar dit was zeker niet wat je zocht.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 14:08

Het eenvoudigste bewijs lijkt me
(3n≥+9n≤+15n+9)/3=n≥+3n≤+5n+3
en dat is een heel getal voor alle n.
Maar dit was zeker niet wat je zocht.

Dat is toch geen bewijs van het gevraagde? Dit toont deelbaarheid door 3, niet door 9. Daarvoor moet je tonen dat de uitdrukking die je hier neerschrijft, nog eens deelbaar is door 3.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6


  • Gast

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 14:18

Oeps leesfoutje ;)

#7

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 18:31

Mij lijkt eenvoudiger om gewoon door te gaan op de weg van TD en Bessie:
LaTeX

Gezien 3n≤ en 3 deelbaar zijn door drie kunnen we deze weglaten en blijven we over met:
LaTeX

Dat laatste stukje klopt, maar hoe ik het zou bewijzen, moet ik nog even over denken ;).

Veranderd door JWvdVeer, 10 augustus 2010 - 18:33


#8


  • Gast

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 18:50

Dat kan ik wel bewijzen met volledige inductie.
Als n^3+5n deelbaar is door drie, dan is (n+1)^3+5(n+1) dat ook, want
LaTeX
De eerste is deelbaar vanwege de algemene voorwaarde, de tweede omdat alle coefficienten deelbaar zijn door drie.

#9

JWvdVeer

    JWvdVeer


  • >1k berichten
  • 1114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 18:50

LaTeX

Deze stap mag trouwens niet... Vul voor n maar drie in.

Veranderd door JWvdVeer, 10 augustus 2010 - 18:53


#10

clone007

    clone007


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 21:08

Deze opgave zal wel op verschillende plaatsen te vinden zijn, maar uit nieuwsgierigheid: waar heb jij de oefening vandaan?

basiswiskunde.be uit dat boek

Ik zal dit eerst allemaal eens bekijken , alvast bedankt voor de snelle reacties:)

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2010 - 21:10

basiswiskunde.be uit dat boek

Okť, dan hebben we het over dezelfde bron ;).

Ik zal dit eerst allemaal eens bekijken , alvast bedankt voor de snelle reacties:)

Prima; ik stel voor dat je het bericht van Rogier eens goed doorneemt; probeer te begrijpen waarom die aanpak nuttig is. Als je vast zit, stel gerust vragen.

Hieropvolgende vragen van JWvdVeer n.a.v. inductie afgesplitst naar http://www.wetenscha...howtopic=130263
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

clone007

    clone007


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 11:16

Dat kan ik wel bewijzen met volledige inductie.
Als n^3+5n deelbaar is door drie, dan is (n+1)^3+5(n+1) dat ook, want
LaTeX


De eerste is deelbaar vanwege de algemene voorwaarde, de tweede omdat alle coefficienten deelbaar zijn door drie.


Vanwaar komt die (n+1)^3+5(n+1) ?
ik ben niet zo familiair met inductie.
greetz

#13

clone007

    clone007


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 11:21

9n≤+9 is sowieso deelbaar door 9, dus je hoeft alleen nog aan te tonen dat 3n≥+15n deelbaar is door 9, oftewel dat n≥+5n deelbaar is door 3. Onderscheid eens de gevallen n=3k, n=3k+1, en n=3k+2 ?


Een andere manier zou met inductie zijn. Als we die term voor n even LaTeX

noemen, volstaat het om aan te tonen dat uit A(n)=negenvoud volgt dat A(n+1)=negenvoud (want dan kun je zeggen: A(1)=36 en dat is een negenvoud, en dus uit A(1) volgt ook A(2), en dus ook A(3), enzovoort voor alle n).


de gevallen n=3k, n=3k+1 , n=3k+2 zijn allemaal deelbaar door 3.
Hoe kom je daar juist op?
dat het steeds deelbaar moet zijn door een geheel getal * 3
maar vanwaar hoe kom je op de +1 en +2 enz

INDUCTIE
Waarom is A(1) = 36?
Ik ben niet zo familiair met inductie.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 augustus 2010 - 11:31

de gevallen n=3k, n=3k+1 , n=3k+2 zijn allemaal deelbaar door 3.
Hoe kom je daar juist op?

Elk natuurlijk getal is van de vorm 3k, 3k+1 of 3k+2, d.w.z. dat je steeds een k kan vinden zodat n te schrijven is in een van die vormen. De rest bij deling door 3 is immers steeds 0 (3k), 1 (3k+1) of 2 (3k+2). Door die drie gevallen apart na te gaan, heb je alle natuurlijke getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

clone007

    clone007


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2010 - 10:53

ah ok ik denk het gesnapt te hebben
bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures